一致收敛为什么必要：逐点极限的三个反例

导读：卓里奇用一整节回答「为什么需要一致收敛」：因为三个美好的性质——极限的连续性、积分号下取极限、求导与极限交换——在逐点收敛下全部失守。

连续性失守

$f_n(x) = x^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛到 $f(x)$：连续函数序列的极限却是 $x=1$ 处的跳跃。极限与极限函数不连续，根因是收敛在 $x=1$ 附近「越来越慢」——这正是非一致性的几何含义。

一致收敛的 $\varepsilon$-$N$ 语言把「慢」显式化：$\sup_{x}|f_n(x)-f(x)| \to 0$。$x^n$ 的上确界始终是 1，故不一致。

$f_n(x) = n x(1-x^2)^n$ 在 $[0,1]$ 逐点收敛到 0，但积分恒为 $1/2$：积分与极限不可交换。求导更凶：存在处处连续、逐点收敛到可微函数、导数列却发散的例子。

修复条件分三级：一致收敛足够；积分只需有界收敛（Arzelà）；可交换求导需要「导数列一致收敛 + 原函数列一点收敛」。

M-判别法（优势级数 $\sum M_n$，$|f_n|\le M_n$）是函数级数一致收敛的主力；Dini 定理给出单调连续列在紧集上一致收敛的免费判定；Arzelà-Ascoli 则处理「等度连续」这条更细的绳子。