导读：卓里奇《数学分析》第 2 卷的开篇工程，是把实数完备性的各种等价说法（确界原理、单调有界、区间套、Bolzano-Weierstrass、柯西准则、覆盖定理、稠密性）串成一张可互相推导的网。
确界原理是地基
非空有上界数集必有上确界——这一条是公理级别的地基。证明思路：用二分法构造十进制展开。其余命题全部可以由它导出：单调有界必收敛，正是「有上界故有上确界」的直接推论。
训练方法：自己画推导有向图，每条边写证明梗概。这张图是全部分析学的骨架——后面每一个收敛定理都在引用它。
柯西准则的独到价值
Bolzano-Weierstrass 给出有界列必有收敛子列；柯西准则则给出「不用知道极限也能判收敛」的判据：$\forall\varepsilon\,\exists N,\ m,n>N \Rightarrow |a_m-a_n|<\varepsilon$。这在证明函数列收敛（无法预先写出极限）时不可替代。
一致连续与紧性（Heine-Cantor）：紧集上的连续函数一致连续，证明完全依赖有限覆盖定理——这是七个命题里「最几何」的一个的典型用法。
反例训练
有理数域上逐条检验这些命题的失效方式：$\sqrt{2}$ 的有理逼近序列是柯西列但不收敛——完备性缺失的直接后果。反例训练让你明白每条定理「保护」的具体漏洞。
常见误区
- 把「有界数列必有极限」当真命题（只有单调有界才收敛）。
- 分不清点态与一致：逐点收敛 + 连续推不出极限连续，需要一致收敛。
吃透自检
- 能画出七个命题的完整推导图并口述三条边的证明
- 能给出每个命题在 $\mathbb{Q}$ 上失效的反例
- 能用柯西准则证明一个函数列收敛而不求出极限