导读：Taylor 公式的价值全在余项。卓里奇区分了局部（Peano）与全局（Lagrange/Cauchy）两种余项，并强调它们回答不同的问题。
Peano 余项：局部地图
$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)$：只断言「误差比 $n$ 次幂更小阶」，适合求极限与判定极值阶数。求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$ 这类题，Peano 余项一步到位。
Lagrange 余项：定量误差
$f(x) = \sum + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$：给出误差与 $n+1$ 阶导数的显式关系，可做区间上的定量估计。近似计算 $\sin x$ 时控制项数的依据正来自它：$|R_n| \le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$。
Cauchy 余项则在积分近似（如证明二项级数收敛域）时更趁手——三种余项不分高下，只分场合。
泰勒展开的工程性使用
常用展开要背到条件反射：$e^x,\ \sin x,\ \cos x,\ \ln(1+x),\ (1+x)^\alpha$。求极限的策略：先用等价无穷小替换粗定位，再用泰勒展开精定阶。展开的阶数由分母决定——展开不足等于白做。
常见误区
- 用 Peano 余项做区间误差估计（它只有局部意义）。
- 展开阶数低于分母阶数，得到 0/0 型的无效结果后误判极限不存在。
吃透自检
- 能对典型函数写出带三种余项的 Taylor 公式
- 能解释 Peano 与 Lagrange 余项的适用场景差异
- 能用泰勒展开一步解决 $\\[\\lim_{x\\to 0}\\frac{e^x-1-x}{x^2}\\]$ 类极限