一维 Burgers 方程实战：显式与隐式格式的手写实现

导读：Anderson 第 4 章用 Burgers 方程演示「同一方程、不同格式、完全不同的命运」。本篇给出两条实现路线与它们的失败方式。

显式路线：简单与苛刻的时间步

显式格式把下一时刻直接由当前值算出：$u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{c\Delta t}{\Delta x}(u_{i+1}^n - u_i^n)$。实现只需两层循环，但稳定性被 CFL 条件锁死：$c\Delta t/\Delta x \le 1$。

练习方式：故意把 CFL 取到 1.1，观察解在几十步内振荡爆炸——这个「亲手炸掉」的经验比背十遍稳定性条件都有用。

隐式格式把空间项写在 $n+1$ 层，得到三对角方程组，用 Thomas 算法 $O(N)$ 求解。时间步不再受 CFL 限制，代价是每步要多解一个线性系统，且时间精度仍受截断误差约束。

工程判断：波传播类问题用显式（要精度），含刚性源项或大时间尺度问题用隐式（要稳定）。

数值解的边界必须与物理边界匹配：入流给定、出流外推。Anderson 指出大量「格式不收敛」的案例，元凶其实是边界条件处理不当——差分格式在最靠边的网格点缺少邻居，需要单侧格式或ghost cell。