能带与有效质量：电子在晶格中如何运动

导读：Kittel 能带章回答一个核心问题：周期势里的电子为什么表现得像「有效质量不同的自由电子」。答案写在布洛赫定理与 $E(k)$ 的曲率里。

布洛赫定理与近自由电子

周期势的本征态 $\psi_k = e^{ikz}u_k(x)$（调幅平面波）。近自由电子近似：除倒格点 $k = G/2$ 处，微扰几乎不改变自由电子；区边界处两支简并态混合，打开带隙 $E_g = 2|U_G|$。

紧束缚近似（ opposite 极限）：能带 $E(k) = E_0 - \alpha - 2\gamma\cos ka$（一维 s 带），带宽 $4\gamma$ 反映波函数交叠。两个近似从两端夹出真实能带图像。

$\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}$：能带底部曲率正 ⇒ $m^* > 0$；顶部曲率负 ⇒ $m^* < 0$——负有效质量的电子行为等价于带正电的空穴。半导体物理的全部语言（电子/空穴、掺杂）建立在这上面。

波包与群速度 $v = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}$：外力下的加速度 $\hbar dk/dt = F$——电子在晶体里「像一个粒子」，只是质量被能带曲率改写。有效质量张量在能谷处各向异性（Si 的六谷）。

能带填充 + 带隙判据：满带不导电（对称的 $+k$ 与 $-k$ 抵消），部分填充才导电。带隙大小分类三种固体——掺杂把费米面挪进带内/带间，半导体工程的核心操作。