模态叠加法：受迫响应的解耦计算

导读：Rao 的模态叠加法把 $n$ 自由度受迫振动化为 $n$ 个单自由度问题：用振型做坐标变换，质量与刚度同时对角化（比例阻尼下阻尼亦然）。

解耦的条件与流程

振型矩阵 $ ilde\Phi$ 变换 $q = \Phi\eta$：$\Phi^TM\Phi$、$\Phi^TK\Phi$ 对角（加权正交性保证）。阻尼 $C$ 一般不对角——比例阻尼假设 $C = \alpha M + \beta K$ 下才解耦；否则需复模态或直接积分。

每个模态坐标满足 $\ddot\eta_i + 2\zeta_i\omega_i\dot\eta_i + \omega_i^2\eta_i = Q_i(t)$：单自由度受迫问题，用杜哈梅积分或频域求解，最后模态叠加回物理坐标。

低阶振型通常携带绝大部分响应能量（结构动力学经验：前几阶模态贡献九成以上）——模态截断使大系统计算可行。截断误差的判断：激励频谱与截断频率的关系。

本站 POD 降阶文章的模态思想同源：POD 用数据驱动的「最优基」替代理论振型——两者都是把动力学压缩到低维子空间。

强非线性、非比例阻尼、高频激励（激起大量模态）时模态叠加失效或低效，转向直接积分（Newmark、HHT）。选型判据：激励带宽 vs 模态密度。