开普勒问题全解：从有效势到轨道分类

导读：朗道《力学》用开普勒问题示范「守恒律先行」的解题范式：不动手解微分方程，先用对称性把问题压缩成一维有效势问题。

守恒律先行

中心力场三守恒：能量、角动量矢量（三个分量）。角动量守恒把运动压到平面内；$L = \frac{m\dot r^2}{2} + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r)$ 定义有效势 $U_{\mathrm{eff}} = U(r) + \frac{L^2}{2mr^2}$。

二维问题变成一维能量守恒：$\frac{m\dot r^2}{2} + U_{\mathrm{eff}}(r) = E$。轨道类型由 $E$ 与 $U_{\mathrm{eff}}$ 的相对位置读出——离心势垒、势阱、坠落半径一目了然。

$\frac{1}{r}$ 形式的势给出圆锥曲线：$E<0$ 椭圆（束缚）、$E=0$ 抛物线（逃逸临界）、$E>0$ 双曲线（散射）。近日点进动是检验偏离 $1/r$ 的探针（水星进动 = 广义相对论修正）。

散射视角：$E>0$ 时瞄准距离与散射角的关系（Rutherford 公式 $\tan(\theta/2) = k/(2Ev)$）——朗道用同样的有效势方法处理散射，一石二鸟。

「守恒律压缩维度 + 有效势分类」适用于一切中心力问题：谐振子势、$1/r^3$ 修正、相对论修正。这条范式也是数值仿真的前处理：先降维再数值。