诺特定理：对称性即守恒律

导读：诺特定理是理论物理最重要的单条定理：每个连续对称性对应一个守恒量。时间平移→能量，空间平移→动量，旋转→角动量。

定理陈述（力学版）

若拉格朗日量在某单参数变换群 $q \to q + \varepsilon \xi(q,t)$ 下不变（准确到全导数项），则 $Q = \sum p_i \xi_i - B$ 守恒（$B$ 为全导数项系数）。

三大实例：时间平移不变（$L$ 不显含 $t$）⇒ 能量守恒；空间平移 ⇒ 动量守恒；旋转不变 ⇒ 角动量守恒。守恒律不再是巧合，是对称性的「记账」。

证明就是把作用量变分按对称性算两遍：一边是零（不变性），一边按欧拉-拉格朗日展开（运动方程成立时）恰为守恒量时间导数。场论版把求和改积分，守恒「量」变守恒「流」。

推广价值：规范对称性 → Noether 第二定理 → 规范场的恒等式（如电荷守恒）；广义坐标变换 → 广义相对论的能动张量守恒。

对称性必须作用于「作用量」而非「运动方程」——只保方程不保作用量的变换不产生守恒律。离散对称性（反射）不对应守恒量，只给选择定则。