第 9 章 · 求根与非线性方程组

解 $f(x)=0$：一维有一维的讲究，多维是多维的战场。这一章的核心判断是——导数可得吗、初值有好坏，两个答案组合出不同武器。

一维：三种基本武器

• 二分法：区间夹逼，每次缩半，必然收敛但线性慢（每步 1 bit）。永远稳妥的保底。
• 割线法/假位法：不用导数，用两点连线作零点估计，超线性收敛。Brent 方法 = 二分兜底 + 割线/逆插加速，一维求根的默认答案（保证收敛且通常快）。
• 牛顿法：$x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$，二次收敛，但需要导数且初值不好时可能发散或跳根。初值可靠时最快。

组合哲学：快法冲刺 + 稳法兜底，这就是 Brent 的配方，也是所有稳健求根库的设计。

多维：牛顿家族与无导数方法

$n$ 个方程 $n$ 个未知数 $\mathbf{F}(\mathbf{x})=0$：

• 牛顿-拉夫森：$\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - J^{-1}\mathbf{F}$，二次收敛；代价：算雅可比 $J$ + 解线性方程，初值敏感。
• Broyden 拟牛顿：用历次 $\mathbf{F}$ 值低秩更新近似 $J$，免解析导数，收敛超线性。
• 全局化：纯牛顿常被"步子太大"害死，加线搜索（步长缩放保证 $\|\mathbf{F}\|$ 下降）或信赖域（限制步长范围）后成为工程标准。

多项式求根的特例

多项式根的求法自成一派：特征值法（伴随矩阵的特征值，LAPACK 路线）一步到位；Aberth/Jenkins-Traub 同时收敛所有根。注意：重根附近条件数极差（$k$ 重根的精度损失 $\sim \sqrt[k]{\epsilon}$），报告根的精度要看根的重数。

老师的提醒

• 求根之前先画函数或粗扫变号区间——90% 的"牛顿不收敛"是初值在另一个根的吸引域里。
• 物理问题多解时（如能量方程多分支），明确你要哪个根：给区间约束比调初值靠谱。

自检

• Brent 方法怎么同时做到"保证收敛"和"通常很快"？
• 全局化牛顿的两个常用手段？
• 重根为什么毁精度？

更深一层：求根算法的"收敛保证谱系"

求根方法可以按"收敛保证 vs 收敛速度"排成一条光谱：二分法（保证收敛、线性慢，每步 1 bit 精度）→ 假位法（保证但可能一端僵滞）→ 割线法（超线性 1.618，无保证）→ 牛顿法（二次，需导数与好初值）。Brent 方法的智慧是"组合票据"：二分的保险 + 逆二次插值/割线的速度，在每次迭代中优先用快法、失速就退回二分——保证收敛且通常超线性。它成为一维求根的默认答案不是因为它最快，而是因为它的最坏情况不坏——工程算法的美德排序里，"下限高"经常压过"上限高"。

初值问题值得再强调：牛顿法的收敛域是分形的（牛顿分形图）——同一初值附近微调，可能落到不同根或发散。多根物理问题的正确姿势：先扫描变号区间（画图或粗网格符号变化检测），再逐区间用 Brent，最后用"根的重数"评估精度（$k$ 重根只有 $\epsilon^{1/k}$ 级精度）。

推导细读：全局化牛顿的两道保险

多维牛顿 $\mathbf{x}_{+} = \mathbf{x} - J^{-1}\mathbf{F}$ 的两大死法：初值远（线性化模型完全失真）与病态雅可比（方向算错）。线搜索：沿牛顿方向做一维搜索保证 $\|\mathbf{F}\|$ 下降——但纯下降会困在局部平坦区，现代实现用 merit function + 拒绝小步的混合策略；信赖域：每步限制 $\|\Delta x\| \le \Delta$，按模型预测 vs 实际下降的比值动态调 $\Delta$——预测准就放开、预测差就收紧。MINPACK 的 hybrd（scipy.fsolve 内核）= 拟牛顿 Broyden + 信赖域 + Powell 混合技巧，是"无导数稳健求根"的工业答案。使用纪律：给 fsolve 配好初值猜测与 xtol/ftol，把它的诊断输出（ier）读出来而不是只拿解。

在真实世界里：非线性方程组的"物理化简"优先

工程方程组动手数值求解前，先做物理化简常能降维打击：利用对称性砍掉一半未知数；用守恒量消元（能量/动量先解出部分变量）；尺度归一化让雅可比各分量同量级（改善条件数）。一个实例：化工平衡方程组直接解不收敛，把方程组无量纲化 + 取对数变量（浓度 $x \to \ln x$ 保证正性）后一次收敛——变量变换是免费的正则化。这些手法不改变解，只改变数值问题的"地形"，让牛顿法看得见路。

专题深入：Brent 方法的"组合票据"哲学

Brent 方法的智慧值得单独品味：二分的保险 + 逆二次插值/割线的速度——每次迭代优先用快法、失速就退回二分，保证收敛且通常超线性。它成为一维求根的默认答案不是因为它最快，而是因为它的最坏情况不坏——工程算法的美德排序里，"下限高"经常压过"上限高"。这个"组合票据"哲学在现代算法里反复出现：MINPACK 的 hybrd（拟牛顿 + 信赖域 + Powell 混合）是同款的"稳健性组合"。

初值的物理学：多根物理问题（能量方程多分支）的初值选择由物理意义决定——你要哪个根，初值就要进哪个吸引域。牛顿分形图（同一初值附近微调落到不同根）是"初值敏感性"的可视化警告。

数学细节展开：全局化牛顿的"两道保险"

多维牛顿的两道保险值得展开：线搜索（沿牛顿方向保证 $\|\mathbf{F}\|$ 下降——但纯下降会困在局部平坦区，现代实现用 merit function + 拒绝小步）与信赖域（每步限制 $\|\Delta x\| \le \Delta$，按模型预测 vs 实际下降的比值动态调——预测准就放开、预测差就收紧）。两道保险的组合（MINPACK 的 hybrd）是"无导数稳健求根"的工业答案。纯牛顿常被"步子太大"害死——全局化是牛顿法从教科书走向工程的必经之路。

工程案例细节：非线性方程组的"物理化简"优先

工程方程组动手数值求解前的物理化简值得做成清单：对称性砍掉一半未知数；守恒量消元（能量/动量先解出部分变量）；尺度归一化让雅可比各分量同量级（改善条件数）；变量变换（浓度 $x \to \ln x$ 保证正性——化工平衡的收敛救赎）。变量变换是免费的正则化——这些手法不改变解，只改变数值问题的"地形"，让牛顿法看得见路。

常见误区与辨析（补充）

• "牛顿法不收敛就换方法"：先检查初值与雅可比的正确性——90% 的不收敛是这两处的问题。
• "重根没办法"：重根附近条件数极差（$k$ 重根的精度损失 $\sim\sqrt[k]{\epsilon}$）——报告根的精度要看根的重数，或用病态修正。