第 3 章 · 插值与外推
给你一张离散数据表，要求"表中间的值"——插值；"表外的值"——外推（危险动作）。这一章把插值的各大门派排开并给出选择建议。
多项式插值：理论优雅、实践挑剔
$n+1$ 个点唯一确定 $n$ 次多项式。拉格朗日形式好看但不宜直接算；实用的是 Neville 算法：逐层用低阶结果线性组合出高阶结果，天然给出误差估计（相邻阶的差）。警告：高次多项式插值在等距点上会剧烈振荡（Runge 现象）——次数越高不等于越准，10 次以上基本不可用。
分段与有理：工程默认
- 三次样条：分段三次多项式，二阶导数连续，曲线光顺不振荡——画光滑曲线、运动轨迹的标准答案。自然样条（端点二阶导为零）是其中最常用款。
- 有理函数插值（Bulirsch-Stoer）：用多项式之比，擅长有极点特征或大范围外推的函数。
- 局部低阶（三次 Hermite）：只要给每点函数值 + 导数（或斜率估计），C$^1$ 连续，实时图形学最爱——便宜且不振荡。
外推：高度危险区
外推 = 用表内规律猜表外。多项式外推几步就爆炸；唯一靠谱的场景是Richardson 外推：对已知误差阶的过程（如步长 $h$ 的梯形公式误差 $O(h^2)$），把两个步长的结果按误差规律组合，跳过一阶误差：
这是下一章 Romberg 积分的引擎。
老师的提醒
- 插值点噪声大时，"精确穿过每个点"是错误目标——换平滑/拟合框架。
- 外推前先想清楚物理有没有理由保证趋势延续；多数外推事故是模型失效而非算法失效。
自检
- Runge 现象说明高次插值有什么风险？
- 样条比全局多项式好在哪两点？
- Richardson 外推的前提条件是什么？
更深一层：插值的三种"世界观"
插值方法之间的差异其实是三种逼近哲学：多项式插值（用一个全局多项式穿过所有点——理论最优但高次振荡）、分段插值（样条/Hermite，局部低阶拼接——牺牲全局光滑换稳定）、有理插值（分式形式，自带极点表达能力——适合有奇性特征的函数）。选择 = 判断数据的"真实形状"：光滑解析 → 样条/高次；有尖峰突变 → 分段低阶；有已知极点结构 → 有理。NR 第 3 章的选型表本质上是这张哲学地图的工程化。
Runge 现象值得亲手体验一次：等距点上做 $f(x) = \frac{1}{1+25x^2}$ 的 10 次插值，区间端部的振荡能到真实值的十几倍——高次多项式插值的端部灾难是"次数越高越准"这一直觉的反例教材。解药有三：切比雪夫节点（非等距，端部加密）、样条（分段）、最小二乘（干脆不要求穿过点）。
推导细读：三次样条为什么"二阶导连续"就够
样条的构造是"在约束下极小化弯曲能"：在所有穿过数据点的二次连续函数里，三次样条最小化 $\int (f'')^2 dx$——它是数据的最"平顺"解释（木条压过钉子的物理类比）。工程上的标准配方是自然样条或非节点样条（not-a-knot），三对角方程求解（衔接第 5 节 Thomas 算法）。使用纪律：数据噪声大时样条会忠实放大噪声（插值的天性），先平滑再插值；外推区（数据范围之外）样条行为不可控，必须禁用或切换外推模型。
在真实世界里：插值在工程管线里的三个典型站位
- 物性查询：CFD/化学仿真里蒸气压、导热系数以表格存储，运行时插值——立方 Hermite（保单调）优先，避免样条的过冲把物性算成负数；
- 轨迹规划：机器人/数控的路径点之间用三次样条（C² 连续 = 加速度连续，机械臂不吃冲击）；
- 数字地图/图形：贝塞尔与 B 样条是样条的表亲——"分段低阶 + 局部控制"的哲学统治了 CAD 三十年。
三处的共同教训：插值阶数与数据质量要匹配——点密而准用高阶，点疏而糙用低阶。
专题深入：样条的"最小弯曲能"原理
三次样条的深刻性质值得展开：在所有穿过数据点的二次连续函数里，三次样条最小化弯曲能 $\int(f'')^2dx$——它是数据的"最平顺解释"（木条压过钉子的物理类比）。这个变分性质解释了样条为什么"看起来对"：它是能量最小的光滑曲线。工程上的标准配方：自然样条（端点二阶导为零）与非节点样条（not-a-knot——端点三阶导连续）的选择；三对角方程求解（Thomas 算法回收）。数据噪声大时样条会忠实放大噪声——插值的天性是先平滑再插值。
数学细节展开：Neville 算法的"误差副产品"
Neville 算法的逐层递推有一个免费的副产品：相邻阶的差给出误差估计——$P_{i,i+1}$ 与 $P_{i+1,i+2}$ 的差是当前阶的误差量级。这个"误差的自我报告"是插值方法的诚信特征——好的插值算法告诉你它有多不准。Runge 现象的警示：高次多项式插值在等距点上剧烈振荡——次数越高不等于越准，10 次以上基本不可用；切比雪夫节点（端部加密）是等距节点的解药。
工程案例细节：插值的"工程三选一"
插值的工程三选一：数据光滑表格 → 三次样条（画光滑曲线、运动轨迹的标准答案）；局部快速估计 → Hermite/低次 Lagrange（实时图形学最爱——便宜且不振荡）；函数逼近已知有理特征 → Bulirsch-Stoer（有理函数插值——大范围外推）。先问数据从哪来——噪声数据该走最小二乘平滑（第 15 章），不该走精确插值。
常见误区与辨析（补充）
- "插值点噪声大时'精确穿过每个点'是正确目标"：错——换平滑/拟合框架。
- "外推前先想清楚物理有没有理由保证趋势延续"：多数外推事故是模型失效而非算法失效。
例题
已知 $\sin 30° = 0.5$、$\sin 45° \approx 0.70711$，用 Neville 算法线性插值估计 $\sin 40°$，并给出误差估计。
解答
一次插值：
真值 $\sin 40° = 0.64279$，误差 $\approx 4.7\times10^{-3}$。
误差估计（Neville 的副产品）：相邻阶之差 $C = |P - y_0|$ 随阶数下降给出误差量级；本例一阶插值误差理论界 $\frac{h^2}{8}\max|f''| = \frac{15^2}{8}\times0.5\times\frac{\pi}{180}^2\approx 2.1\times10^{-3}\ (\text{弧度制})$——同量级 ✓。加一个 $60°$ 节点升二阶可再降一个量级。