导读：朗道第 5 章把任意平衡位形附近的运动统一为简正模问题：一个二次型对角化，耦合消失，能量逐模分配。
二次型对角化
平衡位形附近展开拉格朗日量到二阶：$L = \frac{1}{2}\sum m_{ij}\dot q_i\dot q_j - \frac{1}{2}\sum k_{ij}q_iq_j$。两个实对称矩阵（质量阵 $M$、刚度阵 $K$）广义特征值问题 $K a = \omega^2 M a$ 给出简正频率与振型。
简正坐标下拉格朗日量完全对角：每个简正模是独立谐振子，能量 $\frac{1}{2}(\dot Q^2 + \omega^2 Q^2)$ 逐模守恒——耦合是坐标选择的问题，不是物理的必然。
振型的物理读法
振型向量给出各广义坐标的相对幅度与相位（同相/反相）。零频模式 = 平移/旋转（连续对称性的零模）；负 $\omega^2$ = 平衡不稳定（反转模）。分子振动、结构模态分析、晶格声子（格波就是简正模的场论版）全是同一套。
阻尼加入后：比例阻尼可在简正坐标下解耦（工程近似），一般阻尼不能——Rao《机械振动》的模态叠加法即此讨论的工程版。
与统计力学的接口
能量均分：每个谐振子模均分 $kT$（经典极限）——固体比热的杜隆-珀蒂定律与爱因斯坦/德拜修正的出发点。小振荡理论是连接力学与热物理的标准接口。
常见误区
- 质量阵不对角时不做广义特征值处理而直接除以对角元。
- 把零频模式当数值误差抹掉。
吃透自检
- 能建立并求解二自由度系统的简正模问题
- 能解释零频模式与负刚度模的物理含义
- 能叙述能量均分与小振荡的接口