从微正则到正则：熵极大化的三级跳

导读：朗道《统计物理》前三章的骨架：微正则系综（孤立）出发，熵极大化三级跳到正则（恒温）与巨正则（恒温恒压化学势）——一切热力学量从此可计算。

微正则与熵的定义

孤立系统：能量在 $[E, E+\Delta E]$ 内的一切微观态等概率。熵 $S = k\ln\Gamma$（$\Gamma$ 为态数）——Boltzmann 公式。热平衡 = 复合系统总熵极大。

温度从熵导出：$1/T = (\partial S/\partial E)$。两系统接触时熵极大条件给出 $T_1 = T_2$——温度是「交换能量的代价」。

系统 + 巨大热库总能量守恒，对系统做能量壳约束消元，得到玻尔兹曼分布 $p_n \propto e^{-E_n/kT}$。配分函数 $Z = \sum e^{-\beta E_n}$ 是「一切热力学量的生成函数」：$F = -kT\ln Z$，内能、熵、压强全部由 $Z$ 求导获得。

三级跳的代价递减：正则系综计算上便宜得多（无总能量约束），涨落 $\Delta E/E \sim 1/\sqrt{N}$ 在热力学极限下消失——系综等价性。

开放系统再放开粒子数：$\Xi = \sum e^{-\beta(E_n - \mu N)}$。巨势 $\Omega = -kT\ln\Xi$ 直接给出压强与粒子数。理想量子气体（玻色/费米分布）在巨正则系综里一步导出——Kittel 固体物理的声子/电子统计由此而来。