导读：Timoshenko 用厚壁圆筒（Lamé 问题）示范弹性力学平面问题的完整解题流程：极坐标、应力函数、边界条件、结果检验——弹性力学的「九九乘法表」。
问题设定与简化
长圆筒受内外均压：轴向均匀 ⇒ 平面应变（$\varepsilon_z=0$）；开口短管则近似平面应力。两类问题只差本构中的 $\nu$ 项——一套应力函数解通吃，后处理区分。
极坐标无体力的平衡方程 + 应力函数 $\phi(r,\theta)$（Airy）自动满足平衡，相容方程化为双调和方程 $\nabla^4\phi = 0$。轴对称 ⇒ $ ilde\phi$ 只含 $r$。
求解与应力分布
双调和方程的轴对称解 $\phi = A\ln r + Br^2\ln r + Cr^2 + D$，给出应力 $\sigma_r = A/r^2 + 2B\ln r + 2C$ 的形式；物理要求舍弃对数项，最终 $\sigma_r = A - B/r^2,\ \sigma_\theta = A + B/r^2$。
由内外压边界条件定常数：$\sigma_r$ 在两表面等于给定压力。结论：$\sigma_\theta$ 总在内壁最大——厚壁筒失效从内壁起。这解释了工程上的「自增强」工艺与组合筒设计。
验证与方法论
检查清单：平衡自动满足（应力函数保证）、边界条件逐条核对、位移单值性（含 $\theta$ 的解需检查）、与薄壁公式退化对比（$t\ll R$ 时趋于 $\sigma_\theta = pR/t$）。这套方法论适用于全部平面问题。
常见误区
- 混淆平面应力与平面应变的本构（差一个 $\nu$ 修正）。
- 开口/闭口端部条件混用导致轴向应力错误。
吃透自检
- 能推导 Lamé 解的应力分布
- 能解释内壁起裂的工程对策
- 能验证薄壁极限退化