导读：留数定理把围道积分化为孤立奇点的代数求和。它的工程价值是：一大类实定积分（含三角与指数）变成查表级计算。
定理与计算
$\oint_C f = 2\pi i \sum \mathrm{Res}(f, z_k)$，留数 = 展开式中 $(z-z_k)^{-1}$ 的系数。极点情形：$\mathrm{Res} = \lim_{z\to z_k}(z-z_k)f(z)$（单极点）或对高阶极点求导。
围道设计三件套：上半平面的半圆（衰减函数的实积分）、单位圆（三角积分 $z=e^{i\theta}$ 化为有理函数）、矩形（含跳跃的指数和）。选围道的依据是被积函数在补域上的衰减速度（Jordan 引理）。
典型积分套路
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx$：上半平面极点留数和。$\int_0^{2\pi} R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta$：单位圆有理函数。$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$：Jordan 引理 + 上半平面极点。
主值积分与实轴上的极点： indentation（小半圆绕过）+ 一半留数的修正——欧式积分表里大量公式由此而来。
与级数的接驳
亚纯函数的部分分式分解、Mittag-Leffler 展开、乘积展开（$\sin\pi z$ 的无穷乘积）都由留数论证。留数不只是算积分，也是「全局结构 → 局部分解」的解码器。
常见误区
- 围道穿过极点而不取主值修正。
- 大圆弧上的积分不验证衰减（Jordan 引理条件），直接令其趋零。
吃透自检
- 能用围道法计算 $\\\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\frac{dx}{1+x^2}$ 型积分
- 能处理实轴上极点的主值情形
- 能说明 Jordan 引理的作用条件