导读：Stein 第 2 章后半把积分变成几何：$L^p$ 范数、Hölder 不等式、三角不等式（Minkowski），最终证明 $L^p$ 完备——分析学从「算极限」升级为「在函数空间里做几何」。
范数与不等式机器
$\|f\|_p = (\int |f|^p)^{1/p}$。Hölder 不等式 $\int |fg| \le \|f\|_p\|g\|_q$（$1/p+1/q=1$）是「加权放缩」的机械化；Minkowski（三角不等式）由 Hölder 导出——证明链固定，背结论即可。
p=2 的特殊地位：$L^2$ 由内积驱动，有平行四边形法则、正交分解、傅里叶理论——它是唯一的 Hilbert 空间主角（在 Lebesgue 族里）。
完备性的价值
完备 = 柯西列必收敛。$L^p$ 完备（Riesz-Fischer 定理）意味着：只要证明一个函数列是柯西列（通常用控制条件），极限自动存在且落在同类中——不需要写出极限。
对比黎曼可积函数类：不完备（极限跑出类外）。完备性是傅里叶级数 L² 收敛理论、泛函分析、谱方法的地基。本站谱方法文章的「L² 最优逼近」全部依赖它。
逼近的便利
阶梯函数、紧支连续函数、光滑函数在 $L^p$ 中稠密——「先用简单对象逼近，再取极限」的标准工作流因此合法。这是现代分析最重要的工作模式。
常见误区
- 把 $L^p$ 收敛当逐点收敛（前者不保证后者，只保证子列）。
- 对 $p=\infty$（本质上确界范数）误用 $p<\infty$ 的结论。
吃透自检
- 能证明 Hölder 并导出 Minkowski
- 能陈述 Riesz-Fischer 定理并说明其价值
- 能解释为什么 $L^2$ 在傅里叶分析中地位特殊