不变子空间与上三角化：证明的骨架

导读：Axler 全书最漂亮的单定理：复向量空间上任何算子都有使之上三角的基。它的证明只有一段，却是全书所有结构定理的骨架。

归纳的引擎

对维数归纳：取 $T$ 的一个特征向量 $v$（存在性由复数域保证多项式有根），令 $U = \mathrm{span}(v)$ 的正交补当 $T$ 自伴，或直接考虑商空间 $V/U$。商空间上的归纳给出上三角基。

上三角意味着：$T v_k$ 是前 $k$ 个基向量的组合。对角线上依次出现特征值——这就是「特征值存在」的上三角化表述。

上三角化立刻给出：$T$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 对角线全非零；Cayley-Hamilton 的 Axler 证明；多项式作用 $p(T)$ 的谱映射。这些结果在行列式路线里需要各自单独的技巧。

实空间的困难：特征多项式可能无实根。出路是广义特征子空间与 2×2 旋转块——这为「复化」技巧（把实空间复化后再用复定理）提供了动机。

Axler 第 5 章值得读三遍：第一遍跟随证明，第二遍只看定理陈述自证，第三遍把每个结果翻译成 2×2 矩阵的具体实例验证。