第 3 章 · 谐波激励下的受迫振动

机器转起来就有简谐激励，结构响应多大、共振多危险、怎么隔振——这一章是振动工程的正中心。复数振型法（旋转矢量）把微分方程降为代数，一切指标都能画成曲线读出来。

稳态响应与放大因子

三个频段各有性格：$r \ll 1$ 位移跟激励（刚度控制）；$r \approx 1$ 共振（放大因子峰值 $\approx \frac{1}{2\zeta}$——阻尼是唯一的救兵）；$r \gg 1$ 位移趋零、响应与激励反相（质量控制——这就是隔振区）。相位角 $\varphi$ 从 0 扫到 $\pi$，共振点附近 $r=1$ 处 $\varphi = \pi/2$。

共振的精确位置与品质因数

位移峰值发生在 $r = \sqrt{1-2\zeta^2}$（略偏于 1）；半功率带宽法：峰值两侧 $X = X_\text{max}/\sqrt2$ 处的频率差 $\Delta\omega \approx 2\zeta\omega_n$——由实验曲线反推 $\zeta$ 的第二标准手法。品质因数 $Q \approx 1/2\zeta$ 沟通"峰有多高"与"环振荡多少次才停"。

隔振与旋转失衡

• 力传递率（机器隔振）：$T = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}$——只有 $r > \sqrt2$ 才隔振（$T<1$），软弹簧（低固有频率）是隔振的代价；
• 位移传递率（基础激励，地震/路面）：同一公式，$r$ 由基础运动定义；
• 旋转失衡：偏心质量 $me\omega^2$ 激励，响应峰在 $r = 1/\sqrt{1-2\zeta^2}$ 附近——动平衡是旋转机械的终身功课。

老师的提醒

• 频段控制的口诀：低频看刚度、共振看阻尼、高频看质量——选材与改设计的方向由频段决定。
• 隔振的 $r > \sqrt 2$ 底线要背：装了减振器却把固有频率装高了，是现场最常见的"越隔越震"。

自检

• 写出放大因子与相位随 $r, \zeta$ 的表达式。
• 半功率带宽法测阻尼的流程。
• 为什么隔振要求激励频率高于固有频率 $\sqrt 2$ 倍？

更深一层：频响函数是振动的"完整身份证"

频率响应函数 $H(\omega) = \frac{X}{F_0} = \frac{1}{k - m\omega^2 + ic\omega}$（复数：幅值 + 相位）编码了系统的全部线性信息：幅频曲线读共振峰（峰高 $\approx 1/2\zeta$）、相频曲线读共振点（恰过 $-90°$——比幅值峰更准的 $\omega_n$ 标志）、虚实部（Nyquist 图上是个圆，圆直径 $= 1/k\zeta$）。实验模态分析的整套流程（扫频 → 测 FRF → 拟合参数）就是从身份证反推出生信息：峰定频率、带宽定阻尼、峰的形状定振型参与。

三条频段口诀对应三种物理控制：$r \ll 1$ 刚度控制（变形跟力走，加粗加硬）、$r \approx 1$ 阻尼控制（唯一能压峰的旋钮）、$r \gg 1$ 质量控制（惯性不响应，隔振区）。改设计的方向由频段决定——这句话是振动工程的路标。

推导细读：隔振的"$r > \sqrt 2$"宪法

力传递率 $T = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}$ 的关键结构：$r > \sqrt2$ 才有 $T < 1$（隔振区），且阻尼在隔振区反而有害（$\zeta$ 大则 $T$ 上升——阻尼把振动"短路"回基础）。工程推论链：隔振器要"软"（$f_n$ 低，普通设备 $\le 5$ Hz、精密仪器 $\le 1$ Hz）→ 软则静挠度大（$\delta_{st} = g/\omega_n^2$）→ 限制稳定性与行程 → 高频泄漏问题（隔振器在高频内部共振失效 → 串联两级隔振或气动弹簧）。"软-稳-准"的三角权衡是隔振设计的全部经济学，光学平台、晶圆减震台、发动机悬置都是这张图的读者。

在真实世界里：共振的"正面利用"

共振不只防，还可利用：超声波焊接/清洗（谐振放大振幅到几十微米）、压电能量收集（谐振频率对准环境振动频率最大化提取功率——带宽与 $Q$ 的权衡）、共振磁谱仪与雷达滤波（窄带选频）。"共振区阻尼是敌人、能量收集区阻尼是朋友"——同一物理现象因目的不同而立场翻转，这是学振动时最值得养成的辩证视角。

专题深入：频响函数是振动的"完整身份证"完整版

频率响应函数 $H(\omega) = \frac{X}{F_0} = \frac{1}{k - m\omega^2 + ic\omega}$（复数：幅值 + 相位）编码了系统的全部线性信息：幅频曲线读共振峰（峰高 $\approx 1/2\zeta$）、相频曲线读共振点（恰过 $-90°$——比幅值峰更准的 $\omega_n$ 标志）、虚实部（Nyquist 图上是个圆，圆直径 $= 1/k\zeta$）。实验模态分析的整套流程（扫频 → 测 FRF → 拟合参数）就是从身份证反推出生信息：峰定频率、带宽定阻尼、峰的形状定振型参与。

三条频段口诀对应三种物理控制：$r \ll 1$ 刚度控制（变形跟力走，加粗加硬）、$r \approx 1$ 阻尼控制（唯一能压峰的旋钮）、$r \gg 1$ 质量控制（惯性不响应，隔振区）。改设计的方向由频段决定——这句话是振动工程的路标。

数学细节展开：隔振的"$r > \sqrt 2$"宪法完整版

力传递率 $T = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}$ 的关键结构：$r > \sqrt2$ 才有 $T < 1$（隔振区），且阻尼在隔振区反而有害（$\zeta$ 大则 $T$ 上升——阻尼把振动"短路"回基础）。工程推论链：隔振器要"软"（$f_n$ 低，普通设备 $\le 5$ Hz、精密仪器 $\le 1$ Hz）→ 软则静挠度大（$\delta_{st} = g/\omega_n^2$）→ 限制稳定性与行程 → 高频泄漏问题（隔振器在高频内部共振失效 → 串联两级隔振或气动弹簧）。"软-稳-准"的三角权衡是隔振设计的全部经济学，光学平台、晶圆减震台、发动机悬置都是这张图的读者。

工程案例细节：共振的"正面利用"工程版

共振不只防，还可利用：超声波焊接/清洗（谐振放大振幅到几十微米）、压电能量收集（谐振频率对准环境振动频率最大化提取功率——带宽与 $Q$ 的权衡）、共振磁谱仪与雷达滤波（窄带选频）。"共振区阻尼是敌人、能量收集区阻尼是朋友"——同一物理现象因目的不同而立场翻转，这是学振动时最值得养成的辩证视角。