弹性理论 · 第 4–5 章 · 平面问题的解法：艾里应力函数

第 4–5 章 · 平面问题的解法：艾里应力函数

二维弹性问题（厚板平面应变/薄板平面应力）有一条奇妙的快捷通道：把应力全部编码进一个标量函数（艾里函数），平衡方程自动满足，问题化成双调和方程的边值问题。

艾里函数的魔法

引入 $\sigma_{xx} = \partial_y^2\chi$、$\sigma_{yy} = \partial_x^2\chi$、$\sigma_{xy} = -\partial_x\partial_y\chi$——平衡方程自动成立（两项相消）。剩下的相容性（应变协调）化为双调和方程：

$$\nabla^4\chi = 0$$

解题游戏从此变成"找满足边界条件的双调和函数"——多项式试探、分离变量、复变函数（Kolosov-Muskhelishvili 势）三大工具箱。艾里函数的本质：二维平衡问题的"势"，如同静电学里的电位。

三大经典解

应力集中的一般规律：几何突变处应力集中系数可达数倍至数十倍，圆角、过渡段是设计语法的"标点符号"。

厚壁圆筒受内外压（Lamé）：$\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}$ 的显式解——压力容器、炮筒设计的公式；
带孔平板的单向拉伸（Kirsch）：孔边应力集中因子 3——小孔让局部应力翻三倍，铆钉孔、舷窗（德哈维兰彗星客机方窗事故的力学背景）的教训源头；
半平面受集中力（Flamant/Boussinesq）：$\sigma \propto \frac{\cos\theta}{r}$ 的扇形分布——地基、路面力学的母题。

平面应变与平面应力的区分

厚体（坝、隧道）：$\varepsilon_{zz} = 0$（平面应变，等效常数换算 $\nu \to \nu/(1-\nu)$）；薄板（平面应力 $\sigma_{zz} = 0$）。同一个艾里函数解，常数换算不同——套公式前先定类型。

原文要点：第 4-5 章把"多项式艾里函数 ↔ 简单边界载荷"的对应表作为练习主线（纯弯、纯剪、楔形体受集中力），并强调双调和函数与解析函数的等价表示（复势法）是解任意边界形状的万能机器；应力集中章节把 Kirsch 解的极限行为（孔径远小于板宽）作为局部化原理的示范。

老师的提醒

用艾里函数解题的流程：边界条件先翻译成 $\chi$ 的导数条件 → 选函数族 → 定系数。别直接解应力分量方程——那是绕远路。
应力集中因子"3"要入骨：任何孔洞周边在单向拉伸下都是三倍应力，疲劳裂纹的萌芽地。

自检

艾里函数为什么让平衡方程自动满足？
Kirsch 解的应力集中因子与设计启示？
平面应变与平面应力的常数换算差别？

更深一层：艾里函数是"二维弹性的电位"

艾里应力函数的地位类比静电位：静电学里 $\mathbf{E} = -\nabla\phi$ 让"无旋"自动满足、$\phi$ 解泊松方程；弹性学里应力 = $\chi$ 的二阶导让"平衡"自动满足、$\chi$ 解双调和方程 $\nabla^4\chi = 0$。位势方法的通用语法：把约束吸收进定义，把动力学降级成一个高阶 Laplace 型方程。$\chi$ 的多项式对应简单载荷（$\chi \propto y^2$ = 单向拉伸）、复势表示（Kolosov-Muskhelishvili）处理任意边界、分离变量处理规则域——工具箱按边界复杂度分层选用。

Kirsch 解的应力集中（圆孔单向拉伸孔边 $3\sigma$）的正确打开方式：它不是"孔的错"而是"力线绕行的拥堵"——应力流观点（力线像水流绕过桥墩、密度即应力）让你一眼读出任何孔洞/缺口周边的应力地图，比记公式更能迁移。

推导细读：圣维南原理的"远场免检"通行证

圣维南原理（静力等效载荷的远场相同）是所有工程弹性简化的合法性证书：梁理论把端部载荷简化为合力与合力矩、有限元把分布载荷简化为节点力、实验的夹持方式不影响远场读数——全部凭这一张证书。它的现代精确化（Toupin 的能量衰减估计：局部扰动的应变能指数衰减）给"远"字定了量：距离超过特征尺寸 2-3 倍即基本干净。使用禁令：加载点本身（应力真实存在且巨大）、薄壁结构（全局屈曲对局部敏感）、Saint-Venant 反例（细长桁架的剪切滞后）——证书有适用范围。

在真实世界里：应力集中的"设计语法"

应力集中的设计语法三条：圆角是一切过渡的标配（理论应力集中系数随圆角半径增大而单调下降；疲劳强度对 $K_t$ 的敏感远超静强度）；孔洞要"补"或"远离"（孔边加强环把峰值拉低、多孔拉开 3 倍孔径以上避免叠加）；致命组合是"高应力 + 高 $K_t$ + 疲劳载荷"——飞机舷窗方改圆的历史（de Havilland 彗星客机连环事故的教训）是这条语法的血写版本。应力集中系数表 + 疲劳寿命曲线 = 机械设计的护身符。

专题深入：艾里函数是"二维弹性的电位"完整版

数学细节展开：圣维南原理的"远场免检"通行证完整版

工程案例细节：应力集中的"设计语法"工程版

例题

无限大平板含半径 $a = 10\ \mathrm{mm}$ 圆孔，远场单向拉伸 $\sigma = 100\ \mathrm{MPa}$。求孔边最大应力与应力集中系数；若孔边倒成大圆角呢？

解答

Kirsch 解：单向拉伸下圆孔边（垂直于拉伸方向的两侧点）

$$\sigma_{\max} = 3\sigma = 300\ \mathrm{MPa}, \qquad K_t = 3$$

含义：孔直径 10 mm 的小孔让局部应力翻三倍——疲劳裂纹最爱从这里萌发。设计对策：

受拉方向对孔轴转向（应力集中随角度下降至 -1，即压应力）；
大圆角过渡（$K_t \to 1$ 的极限是"没有孔"）；
多孔拉开距离（互相干涉降低峰值）。

"3"是板壳开孔的万能速记：单向拉伸下一切小圆孔周边 $\sigma_{max} = 3\sigma$。

本页是《弹性理论》第 3 节的学习笔记：为便于初学，讲解、例题与要点概括均为本站原创整理，公式与章节定位供对照原书使用。