第 7–8 章 · 多元函数的微分与积分初步
一元的导数到了多元变成一个矩阵（梯度、雅可比），"可微"不再等价于"偏导存在"。这一章把微分学推广到 $\mathbb{R}^n$，并引入重积分的第一层。
偏导、方向导数与可微
关键不等链：可微 ⟹ 偏导存在且方向导数沿任意方向存在；偏导存在推不出可微（经典反例：$f = \frac{xy}{x^2+y^2}$ 在原点偏导存在但不连续）。偏导数连续 ⟹ 可微是常用充分条件。梯度 $\nabla f$ 指向最快上升方向，方向导数 = $\nabla f\cdot\mathbf{e}$——优化的全部几何基础在这一行。
多元中值与极值
多元拉格朗日中值、二阶泰勒（Hessian 矩阵登场）。无条件极值判别：驻点处 Hessian 正定极小、负定极大、不定鞍点。条件极值用拉格朗日乘子法：
几何直觉：极值点处 $f$ 的等值面与约束面相切。
重积分的骨架
二重积分化为二次积分（Fubini：连续函数可换序）、换元（雅可比行列式）、极坐标 $dxdy = r\,drd\theta$。对称性利用仍是最大的免费加速：区域对称 + 函数奇偶。
老师的提醒
- "偏导存在但不可微"的反例必须手写一遍：它是区分"会算偏导"与"懂微分"的分水岭。
- 拉格朗日乘子法求出的是候选点：还要比值或用物理意义定最大最小。
自检
- 可微、偏导存在、偏导连续三者的蕴含关系？
- 求 $f = xy$ 在约束 $x^2+y^2=1$ 上的最值。
- 什么时候必须用极坐标？判断标准是什么？
更深一层：多元微分学的"层级表"比公式更重要
多元微分学的全部陷阱浓缩在一张层级表里：偏导连续 ⟹ 可微 ⟹ 偏导存在 + 连续，而箭头全部不可逆。每一处"不可逆"都对应一个精心设计的反例与一类真实现象。偏导存在 ⇏ 连续：$f = \frac{xy}{x^2+y^2}$（原点补 0）沿坐标轴为 0 但沿 $y = x$ 为 $\frac12$——每个方向各自的行为与整体行为脱钩。可微 ⇏ 偏导连续：$f = (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$（原点补 0）可微但偏导在原点不连续——"可微"这个最弱充分的定义点。这张表的价值在于校准直觉：一元微分的"可导 = 可微 = 光滑"的美好幻觉，在多元世界里全部碎裂，而"可微 = 存在良好线性逼近"这一定义是重建秩序的唯一支柱。
方向导数是层级表的试金石：可微 ⟹ 沿任意方向的方向导数存在且 $= \nabla f\cdot\mathbf{e}$；但方向导数全体存在仍推不出可微（还是那个 $\frac{xy}{x^2+y^2}$——沿所有射线方向导数存在）。"沿直线的行为好"永远推不出"作为函数好"——多元分析的第一定律。
推导细读：拉格朗日乘子法的几何证明
乘子法 $\nabla f = \lambda\nabla g$ 的最快理解不是解方程而是看图：在最值点处，$f$ 的等值线与约束曲线相切——若横穿，则沿约束方向还能继续增大/减小 $f$，与"最值"矛盾；相切则两曲线法向量平行，即梯度平行。乘子 $\lambda$ 的符号意义：约束"值多少钱"——把约束右端 $c$ 移动一单位，最优值变化 $\lambda$（灵敏度解释，在优化与经济学里都叫影子价格）。多约束情形（$m$ 个乘子）与不等式约束（KKT 条件的互补松弛：不起作用的约束乘子为零）是这个几何图像的自然推广——凸优化的对偶理论的种子在多元微分的极值问题里就已经发芽。
在真实世界里：梯度是"现代机器学习的方向盘"
梯度 $\nabla f$ 指向函数上升最快方向——这一个事实撑起了整个深度学习的训练循环：负梯度方向下降（SGD）、梯度消失/爆炸是各层偏导的连乘、梯度裁剪防爆炸、归一化（BatchNorm）防病态。多元微分学的"可微性检查"在深度学习里对应计算图的可微性——激活函数必须几乎处处可微（ReLU 在 0 点不可导但实践可容忍，次梯度兜底）。甚至"链式法则 + 雅可比矩阵"就是反向传播的数学定义。可以说：多元微分学是 AI 时代的算术——这一节的每个概念在训练一个神经网络时都会被调用一次。
常见误区与辨析
- "把 $y$ 当常数求偏导就是会偏导了"：偏导只是"沿坐标轴的斜率"；可微性、方向导数、全增量的估计是三个不同强度的要求，考试与工程都按最严格的要求验收。
- "驻点就是极值点"：多元情形驻点可以是鞍点（$f = xy$ 的原点）——Hessian 正定/负定/不定的三分检验不可省。
- "条件极值直接代约束消元"：能消则快，但不能消（隐式约束、圆上极值）时乘子法是唯一系统方法——两种手法都要会。
专题深入：多元可微性的"层级表"完整判例库
多元微分学的层级表值得配上完整的判例库：偏导连续 ⟹ 可微 ⟹ 偏导存在 + 连续，箭头全部不可逆，每个"不可逆"都配一个标本。偏导存在 ⇏ 连续：$f = \frac{xy}{x^2+y^2}$（原点补 0）——沿坐标轴为 0 但沿 $y = x$ 为 $\frac12$，每个方向各自的行为与整体行为脱钩。可微 ⇏ 偏导连续：$f = (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$（原点补 0）——可微但偏导在原点不连续。一元微分的"可导 = 可微 = 光滑"的美好幻觉，在多元世界里全部碎裂——"可微 = 存在良好线性逼近"这一定义是重建秩序的唯一支柱。
方向导数是层级表的试金石：可微 ⟹ 沿任意方向的方向导数存在且 $= \nabla f\cdot\mathbf{e}$；但方向导数全体存在仍推不出可微（还是那个 $\frac{xy}{x^2+y^2}$——沿所有射线方向导数存在）。"沿直线的行为好"永远推不出"作为函数好"——多元分析的第一定律。
数学细节展开：拉格朗日乘子法的"几何证明"
乘子法 $\nabla f = \lambda\nabla g$ 的几何证明值得走一遍：在最值点处，$f$ 的等值线与约束曲线相切——若横穿，则沿约束方向还能继续增大/减小 $f$，与"最值"矛盾；相切则两曲线法向量平行，即梯度平行。乘子 $\lambda$ 的符号意义：约束"值多少钱"——把约束右端 $c$ 移动一单位，最优值变化 $\lambda$（灵敏度解释，在优化与经济学里都叫影子价格）。KKT 条件的互补松弛（不起作用的约束乘子为零）是这个几何图像的自然推广——凸优化的对偶理论的种子在多元微分的极值问题里就已经发芽。
工程案例细节：梯度在机器学习里的"方向盘"角色
梯度 $\nabla f$ 指向函数上升最快方向——这一个事实撑起了整个深度学习的训练循环：负梯度方向下降（SGD）、梯度消失/爆炸（各层偏导的连乘）、梯度裁剪（防爆炸）、归一化（BatchNorm——防病态）。多元微分学的"可微性检查"在深度学习里对应计算图的可微性——激活函数必须几乎处处可微（ReLU 在 0 点不可导但实践可容忍，次梯度兜底）。链式法则 + 雅可比矩阵就是反向传播的数学定义。多元微分学是 AI 时代的算术——这一节的每个概念在训练一个神经网络时都会被调用一次。
例题
（1）$f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$（原点处补充定义 0），证明它在原点偏导存在但不可微；（2）用拉格朗日乘子求 $f = xy$ 在 $x^2 + y^2 = 1$ 上的最值。
解答
（1） 沿坐标轴 $f(x,0) = 0$ ⟹ $f_x(0,0) = 0$，同理 $f_y(0,0) = 0$。若可微，应有 $f = 0 + 0 + o(\rho)$，即 $f/\rho \to 0$。但沿 $y = x$：
矛盾 ⟹ 不可微 ✓（偏导存在 ≠ 可微的标准反例）。
（2） $L = xy - \lambda(x^2 + y^2 - 1)$：$y = 2\lambda x$、$x = 2\lambda y$ ⟹ $x = \pm y$；代回约束 $x = \pm\frac{1}{\sqrt2}$。候选点给出 $xy = \frac12$（最大）与 $-\frac12$（最小）。
- 乘子法求出的是候选点，最值判定要比较各点函数值（或用紧性 + 连续性论证存在）。