第 3–5 章 · 时域分析：二阶系统的指标语言

控制品质怎么打分？行业公约是二阶系统的五项指标：超调、上升时间、峰值时间、调节时间、稳态误差。一阶系统做热身，二阶系统做主角，高阶系统用主导极点降维。

一阶与二阶系统的标准响应

一阶 $G = \frac{1}{Ts + 1}$：阶跃响应无超调，63.2% 处的时间 = $T$。二阶标准形：

欠阻尼（$\zeta < 1$）阶跃响应：

指标公式表（必须形成条件反射）：

$\zeta$ 管形状（超调）、$\omega_n$ 管速度——两个旋钮的分工是时域设计的心法。

• 超调量 $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%$——只由 $\zeta$ 决定（$\zeta = 0.7 \Rightarrow M_p \approx 4.6\%$）；
• 调节时间（2%）$t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}$——由包络衰减决定；
• 峰值时间 $t_p = \pi/\omega_d$、上升时间与 $\omega_n$ 成反比。

稳态误差与系统型别

终值定理 $e_{ss} = \lim_{s\to0}sE(s)$（前提：极点都在左半平面）。按开环积分环节个数分型（0 型/I 型/II 型）：阶跃输入下 I 型零稳态误差、斜坡输入下 I 型误差 $1/K_v$——误差系数（$K_p, K_v, K_a$）与型别的配对表是稳态设计的速查卡。加积分环节消稳态误差的代价：相位滞后（第 6 章稳定性分析回收）。

主导极点与高阶系统

高阶系统的响应由离虚轴最近的极点对主导（其他极点衰减快、零点影响小）；偶极子（极零紧邻）近似对消——用等效二阶系统读高阶系统是工程估算的核心技巧。

老师的提醒

• 调参顺序的记忆法：先定 $\zeta$（多阻尼/多超调，主观指标）→ 再定 $\omega_n$（多快，客观指标）→ 最后看稳态误差（型别/增益）。
• 终值定理的两个前提自查：闭环稳定 + 输入变换无右半平面极点——漏查是稳态误差题的头号扣分点。

自检

• 由 $\zeta = 0.6$ 算超调与 $t_s$（给 $\omega_n$）。
• I 型系统对斜坡输入的稳态误差公式？
• 主导极点法的适用条件？

更深一层：二阶系统是"控制品质的度量衡"

二阶标准形 $G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$ 的五项指标（超调、上升时间、峰值时间、调节时间、稳态误差）是行业公约的"控制品质度量衡"。两个旋钮的分工：$\zeta$ 管形状（超调量 $e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ 只由它决定）、$\omega_n$ 管速度（$t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}$ 由它决定）——$\zeta$ 是"多稳"旋钮、$\omega_n$ 是"多快"旋钮。所有控制系统设计的时域指标都可以翻译成这两个参数的目标值。

主导极点法（高阶系统的响应由离虚轴最近的极点对主导）是工程估算的核心技巧——用等效二阶系统读高阶系统，其余极点衰减快可忽略。偶极子（极零紧邻）近似对消是系统简化的另一条捷径。

推导细读：稳态误差的"型别分类法"

稳态误差的系统型别分类值得配卡：按开环积分环节个数分型——0 型（阶跃输入有误差）、I 型（阶跃零误差、斜坡 $1/K_v$）、II 型（斜坡零误差、抛物线有限误差）。误差系数（$K_p, K_v, K_a$）与型别的配对表是稳态设计的速查卡。终值定理 $e_{ss} = \lim_{s\to0}sE(s)$ 的两个前提（闭环稳定 + 输入变换无右半平面极点）是失分点——用终值定理前先验证稳定性，否则算出的"稳态误差"是发散系统的幻觉。

在真实世界里：时域指标的"工程翻译"

时域指标的工程翻译：超调量（精密定位系统 < 5%、过程控制可接受 20%——安全性决定上限）、调节时间（生产节拍决定下限）、稳态误差（精度指标的直接读数）。"多快、多稳、多准"三指标冲突是控制设计的永恒主题——响应快则超调大、超调小则调节慢、稳态准则响应迟——PID 的三个旋钮正是在这个三角里找平衡。

专题深入：时域分析的"判据链"完整版

第三章-第五章时域分析的判据链：稳定性的一票否决（特征根全在左半平面——劳斯判据的表格算法（第一列符号变化次数 = 右半平面根数）+ 特殊情形处理（全零行 = 对称根（虚轴或原点对称）→ 辅助方程求根；首列为零用 ε 替换）——劳斯判据的隐藏用法：求参数稳定范围（把增益 K 留在表里，解 K 的不等式——"K 取多少会翻车"的直接答案））；稳态误差的三查（系统型别（开环积分环节数 ν）+ 输入类型（阶跃/斜坡/抛物线）→ 静态误差系数 $K_p, K_v, K_a$（0 型系统对阶跃有差、I 型对阶跃无差对斜坡有差——"积分环节的数量 = 能跟踪的输入阶数"）+ 扰动稳态误差（扰动作用点的位置决定——"扰动前加积分 vs 扰动后加积分"的工程差别））；动态指标的公式族（上节二阶字典 + 高阶系统主导极点估计）。"稳、准、快"三字的判据链次序不能乱：先稳定、再稳态精度、最后动态品质——每一步都有定量工具。

推导细读：根轨迹的"作图规则与设计语义"完整版

第四章根轨迹的价值是把"增益 K 变化时闭环极点去哪"画成一张图：八条作图规则（起点开环极点终点开环零点（n - m 条趋于无穷）、实轴区段判据、渐近线角度与交点 $\sigma_a = \frac{\sum p - \sum z}{n - m}$、出射角、分离点 $\frac{d}{ds}[1 + KG(s)] = 0$、虚轴交点（劳斯判据复用——两个工具在这里握手））；相角条件是本质（$/G(s) = (2k+1)\pi$——轨迹是"相角条件解集"、幅值条件只定 K 值——"轨迹形状与 K 解耦"是根轨迹法的深刻设计自由）；设计的几何语义（加入开环零点把轨迹往左拉（PD/超前补偿 = 零点把根吸向稳定快区）、加入极点把轨迹往右推（积分器在原点加极点提精度但把根推向虚轴——"精度与稳定性的拉锯"的根轨迹可视化）；超前-滞后网络的根轨迹设计流程（用 ζ 线与 ωn 圆定期望主导极点、超前网络补相角、增益由幅值条件定）。

工程案例细节：时域与根轨迹的产业出口工程版

三-五章的工程出口：伺服调参的根轨迹工作流（电机 + 减速器 + 编码器的位置环：画 G(s) 根轨迹 → 选主导极点（ζ = 0.7 圆 + ωn 由带宽定）→ 超前网络补角 → 校验 ——"图上设计"仍是伺服工程师的看家功夫，State-space/频域不过是它的现代化身）；飞行控制的经验参数域（纵向短周期模态的 ζ 与 ωn 规范（MIL-F-8785 飞行品质规范的 ζsp = 0.35–1.3——"手感"被写成参数区间）；过程工业的 K 范围（比例增益扫描 + 劳斯/仿真找临界振荡——Ziegler-Nichols 的临界比例度法本质是找虚轴交点）；磁悬浮与倒立摆（开环不稳定对象的根轨迹全在右半平面——"必须闭环且增益方向唯一"的极端案例，控制教学与磁悬浮列车/火箭姿态的共同原型）。根轨迹的职业价值：把"调参"变成"看图选点"——从盲调到几何设计。