第 5 章 · 微分学：从导数到泰勒公式

导数是"瞬时变化率"的严格化，但数学分析的微分学远不止求导公式——它的核心武器是泰勒公式：用多项式局部替代任意光滑函数，误差还能定量控制。后面极大极小、洛必达、函数作图、近似计算全靠它。

导数与微分的双层结构

可导 ⟹ 连续（逆命题不真：$|x|$ 在 0）；可微 = 增量的线性主部 $dy = f'(x_0)dx$ 存在，一元情形可导与可微等价（多元就不等价了——这是埋给多元微分的伏笔）。求导法则（四则、复合链式、反函数）的证明都回到极限四则，无新魔法。

微分中值定理：三连击

• 罗尔定理：$f(a)=f(b)$ + 连续 + 可导 ⟹ 存在 $\xi$ 使 $f'(\xi)=0$；
• 拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$——函数增量由某点导数"代言"；
• 柯西中值定理：参数曲线版本，$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$——洛必达法则的引擎。

三者的证明链条是"构造辅助函数 + 罗尔收尾"：这套构造手法（把结论改写成"某函数导数为零"）必须亲手练熟。

泰勒公式：局部替代的王者

两种余量：拉格朗日余量 $R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（定量、估计误差）与佩亚诺余量 $o((x-x_0)^n)$（定性、比阶）。应用四件套：极限（比阶替代洛必达，往往更快）、极值判别（$f'(x_0)=0$ 后看二阶）、近似计算（误差可控）、证明不等式（中值点的存在性论证）。

老师的提醒

• 判断函数性态的标准流程：定义域 → 一阶导（单调区间+驻点）→ 二阶导（凹凸+拐点）→ 渐近线 → 作图。每一道"讨论函数"题都走全流程。
• 洛必达用前先验证 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型；$\lim$ 存在才可继续，否则可能"越洛越错"。

自检

• 用拉格朗日中值定理证明：$f'>0$ ⟹ $f$ 严格增。
• 写出 $e^x$ 在 0 处带拉格朗日余量的泰勒公式。
• 用泰勒比阶求 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$。

更深一层：导数的"三重身份"

导数在不同语境下有三张面孔，认出语境是理解微分学的钥匙。极限身份：$f'(x_0)$ 是差商极限——定义与可导性判断用这张脸；线性逼近身份：$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$——近似计算、误差传播（工程里 $\Delta y \approx f'\Delta x$ 的全部误差公式）用这张脸；变化率身份：速度、边际成本、灵敏度——应用题与建模用这张脸。泰勒公式是线性逼近身份的完全体（高阶展开），微分中值定理是极限身份与变化率身份之间的官方桥梁。三重身份在手，"导数有什么用"这类问题就自动分解成三个明确的方向。

可导与连续的逻辑关系也值得配一张卡片：可导 ⟹ 连续；连续 ⇏ 可导（$|x|$）；甚至存在处处连续处处不可导的函数（Weierstrass 函数）——"连续"是波形存在，"可导"是波形有确定斜率，后者的要求严格得多。这个层级表在多元情形会以更剧烈的形式重现（偏导存在 ⇏ 连续）。

推导细读：洛必达法则的"使用说明书"

洛必达法则的使用有四条容易被忽略的说明。其一，只适用于 $\frac00$ 与 $\frac{\infty}{\infty}$ 型——其他类型（$0\cdot\infty$、$\infty - \infty$、$1^\infty$）必须先变形；其二，是 $\lim\frac{f'}{g'}$ 存在（或为 $\infty$）时才成立，存在性不保证（振荡反例 $\frac{x+\sin x}{x}$ 的导数比无极限而原极限存在）；其三，循环陷阱：$\sqrt{x^2+1} - x$ 型直接洛必达会越化越繁——先有理化；其四，泰勒展开常比洛必达快且稳：$\frac{\sin x - x}{x^3}$ 一行读出 $-\frac16$，洛必达要连用三次。这四条说明合起来是一个策略：泰勒比阶优先、洛必达补刀、变形开路。

在真实世界里：泰勒公式的"精度工程"

泰勒公式在工程计算里的用法不是"展开玩"，而是精度工程。计算器算 $\sin$ 的芯片实现：把自变量归约到 $[-\pi/4, \pi/4]$，再用截断泰勒（或切比雪夫逼近）到所需位数——归约保证 $|x| \le 0.785$，五次多项式误差已小于 $10^{-8}$。物理近似的选择：单摆方程 $\sin\theta \approx \theta$ 的合法性由泰勒余量 $\frac{\theta^3}{6}$ 定量——$\theta = 0.5$ 弧度时误差约 2%，这个数字直接告诉你小角度近似能不能用。每一个"近似公式"背后都应该站着它的泰勒余量——这是理论计算与工程计算的分界线：前者问"等于什么"，后者问"差多少"。

专题深入：泰勒公式的"两种余项"分工

泰勒公式的两种余项的分工值得精确化：拉格朗日余项 $R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（定量——误差有显式界，近似计算的精度估计）与佩亚诺余项 $o((x-x_0)^n)$（定性——比阶，极限计算）。应用分工：近似计算与误差估计用拉格朗日（$\sin x \approx x - x^3/6$ 的误差 $< |x|^5/120$）、极限与阶的比较用佩亚诺（$\frac{\sin x - x}{x^3}$ 一行读出 $-\frac16$）。"在 $x_0$ 展开、展开到几阶由余量需求决定"——常用展开式（$e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x), (1+x)^\alpha$）是必须默写的基本功。

数学细节展开：洛必达法则的"使用说明书"完整版

洛必达法则的使用说明书值得做成纪律清单：只适用于 $\frac00$ 与 $\frac\infty\infty$ 型（其他类型必须先变形）；$\lim\frac{f'}{g'}$ 存在（或为 $\infty$）时才成立（振荡反例 $\frac{x+\sin x}{x}$ 的导数比无极限而原极限存在——失效）；循环陷阱（$\sqrt{x^2+1} - x$ 型直接洛必达会越化越繁——先有理化）；泰勒展开常比洛必达快且稳（$\frac{\sin x - x}{x^3}$ 一行读出 $-\frac16$，洛必达要连用三次）。策略：泰勒比阶优先、洛必达补刀、变形开路。

工程案例细节：泰勒公式的"精度工程"实操

泰勒公式在工程计算里的"精度工程"实操值得展开：计算器算 $\sin$ 的芯片实现——把自变量归约到 $[-\pi/4, \pi/4]$（归约保证 $|x| \le 0.785$），再用截断泰勒到所需位数（五次多项式误差已小于 $10^{-8}$）；物理近似的选择：单摆方程 $\sin\theta \approx \theta$ 的合法性由泰勒余量 $\frac{\theta^3}{6}$ 定量——$\theta = 0.5$ 弧度时误差约 2%，这个数字直接告诉你小角度近似能不能用。每一个"近似公式"背后都应该站着它的泰勒余量——这是理论计算与工程计算的分界线：前者问"等于什么"，后者问"差多少"。