第 6–7 章 · 根轨迹与频域分析

增益从 0 拧到 ∞，闭环极点在复平面上走出一条轨迹——根轨迹；正弦扫频看输出幅相——伯德图。两种"不用解方程就能设计"的图解法，是经典控制的两大眼睛。

根轨迹：增益与极点的动态地图

闭环特征方程 $1 + KG(s)H(s) = 0$ 中 $K: 0 \to \infty$，闭环极点画出的轨迹有完整规则集：起点（开环极点）终点（开环零点/无穷）、实轴区段（右侧奇点数为奇）、渐近线角度 $\frac{(2k+1)\pi}{n-m}$、出射角、与虚轴交点（劳斯表）。 用途三件：判断增益稳定范围（轨迹穿越虚轴的点）、看附加零极点怎么"拉/推"轨迹（左半平面零点把轨迹拉向稳定——超前补偿的根轨迹解释）、读主导极点的 $\zeta$（等阻尼线交点）。

伯德图与稳定裕度

频率响应 $G(j\omega)$ 的幅相曲线（对数坐标）三件套：

伯德积分定理（$\angle G$ 的平均值与 $-20$ dB/dec 斜率的锁定关系）解释了相位滞后是积分的宿命——增益拉高消稳态误差必吃相位裕度，这是"精度 vs 稳定"的根本拉锯。

• 增益裕度 GM：相位 $-180°$ 处的增益余量（还能放大多少倍才失稳）；
• 相位裕度 PM：增益为 1（0 dB）处的相位余量——工程经验：PM 30°–60° 对应良好阻尼（与 $\zeta$ 的近似式 PM $\approx 100\zeta$ 度）；
• 奈奎斯特判据：开环极点图绕 $-1$ 点的圈数判闭环稳定性（含不稳定开环极点的一般情形）。

从裕度到设计的桥梁

PM 与阻尼/超调的经验对应表是频域设计与时域指标之间的翻译词典；系统型别对应低频斜率（$-20$/积分环节）、带宽对应响应速度（$\omega_b \propto \omega_n$）——频域曲线一图读尽时域命运。

老师的提醒

• 手绘根轨迹先背六规则；判断题常考"某点是否在轨迹上"——代幅角条件一验即知。
• 频域设计的快速心算：低频斜率定型别、穿越频率定速度、PM 定超调——三条从伯德图直接读系统性格。

自检

• 根轨迹渐近线角度与交点公式。
• PM 与阻尼比的经验换算与工程范围？
• 为什么加积分环节会吃相位裕度？

更深一层：根轨迹是"增益的地图"

根轨迹的全部规则（起点开环极点、终点开环零点、渐近线角度 $\frac{(2k+1)\pi}{n-m}$、实轴区段、出射角、与虚轴交点）服务于一个目标：不开环传递函数的数学解剖，看闭环极点随增益怎么搬家。三个实战用途：判断增益稳定范围（轨迹穿越虚轴的点——增益的红线）、看附加零极点怎么"拉/推"轨迹（左半平面零点把轨迹拉向稳定——超前补偿的根轨迹解释）、读主导极点的 $\zeta$（等阻尼线交点）。根轨迹是"调增益"的地图——图上每一步都是物理后果。

频域分析（伯德图 + 奈奎斯特）与根轨迹是"同一系统的两张照片"：根轨迹给"极点在复平面的轨迹"，伯德图给"频率响应的幅相曲线"——两者互为验证。奈奎斯特判据（开环极点图绕 -1 点的圈数判闭环稳定性）处理含不稳定开环极点的一般情形——频域方法的强项是实验可得（扫频测频响，不必知道传递函数）。

推导细读：相位裕度 PM 与阻尼比的经验对应

相位裕度（增益为 1 处的相位余量）与阻尼比的近似式 PM $\approx 100\zeta$ 度值得作为"频域-时域翻译词典"记住：PM 30°–60° 对应良好阻尼（$\zeta$ 约 0.3–0.6）。增益裕度 GM（相位 -180° 处的增益余量——还能放大多少倍才失稳）与 PM 是频域稳定性的双指标。伯德积分定理（$\angle G$ 的平均值与 -20 dB/dec 斜率的锁定关系）解释了相位滞后是积分的宿命——增益拉高消稳态误差必吃相位裕度，这是"精度 vs 稳定"的根本拉锯。延迟环节 $e^{-sT}$ 是频域设计的天敌（纯延迟只吃相位裕度不给增益——非最小相位的代表）。

在真实世界里：频域方法的"实验特权"

频域方法的最大工程特权是不需要传递函数：扫频仪直接测频率响应（正弦输入、测输出幅相）→ 伯德图 → 设计控制器——这套"测量-设计"闭环不依赖任何解析模型。这就是为什么航空航天与精密仪器（模型昂贵或不可得）偏爱频域方法。系统辨识 + 频域设计的组合是现代控制工程的"测量驱动"范式。

专题深入：频域分析的"两图一判据"完整版

第六-七章频域法的装备：Bode 图的手绘语法（环节贡献叠加：增益常数（平移）、积分器（-20 dB/dec 过 0 dB 于 ω = K）、一阶惯性（转折频率后 -20 dB/dec、相位 -45° 拐点）、二阶振荡（谐振峰由 ζ 定）、纯滞后 $e^{-\tau s}$（只吃相位不吃幅值——$-\omega\tau$ rad 的相位黑洞，滞后是频域设计的天敌））；奈奎斯特判据的完整逻辑（映射定理：F(s) = 1 + G(s) 环绕原点圈数 = 右半平面零极点差——"包围 (-1, j0) 点的圈数 N = Z - P"给出闭环右半平面根数——"看开环判闭环稳定"的开环数据红利；虚轴极点的 indentation 处理）；稳定裕度的工程语义（幅值裕度 GM：相位穿越 -180° 时的幅值余量、相位裕度 PM：幅值穿越 0 dB 时的相位余量——"GM ≥ 6 dB、PM ≥ 30-45°"是经验红线；PM 与超调的经验公式（PM 大 ⟹ ζ 大）把频域与时域指标挂钩）；闭环带宽与响应速度（带宽 ω_B ≈ 上升时间的倒数——频域快慢的度量）。

推导细读：频域设计的"校正器语法"完整版

频域校正器的完整语法：超前网络 $\frac{1 + aTs}{1 + Ts}$（a > 1：+φmax = arcsin((a-1)/(a+1)) 的相位泵，最大相位在两转折频率几何中点——"用相位裕度买带宽"：把穿越频率推高、加快响应；代价：高频增益 +20 dB（吃噪声）；滞后网络（a < 1：高频衰减 -20log a——"低频积分加精度、高频衰减保稳定"：把穿越频率压低换取 PM、低频增益不变保精度——"滞后 = 降价慢买稳定"；不能用于相位穿越点附近（滞后再吃相位））；超前-滞后组合（先滞后定低频增益、再超前在穿越点补相——"精度 + 速度"双指标的标准解法）；PID 的频域身份（PI = 滞后（积分 + 极点）、PD = 超前、PID = 超前-滞后的实用马甲——"三参数 PID 与频域校正同源"）；环路 shaping 的总纲（低频高增益（精度与抗扰）、穿越斜率 -20 dB/dec（稳定）、高频快滚（滤噪）——"低高快"三段式是频域设计的宪法）。

工程案例细节：频域方法的产业出口工程版

六-七章的工程出口：电源控制的环路设计（开关电源补偿器（Type II/III 补偿网络 = 超前/滞后的运放实现）——"穿越频率取开关频率 1/10、PM ≥ 45°"是电源工程师的日课；bode 100/网络分析仪实测环路（注入扰动法）验证）；电机驱动电流环（电流环带宽 > kHz、速度环低 5-10 倍、位置环再低——"三环带宽阶梯"的频域设计）；音频功放的稳定裕度（电容负载使相位裕度塌陷 → 隔离电阻/Zobel 网络——"容性负载 + 高增益 = 振荡"是功放维修的头号故障）；锁相环的设计语言（PLL 就是控制系统：鉴相器增益 + 环路滤波器 + VCO 积分——"PLL 的阻尼系数与锁定时间"用 ζ、ωn 语言；时钟芯片 datasheet 的环路滤波器参数表）；伺服阀与液压（液压执行器的欠阻尼极点（油弹簧效应）→ 频域校正的经典难点）。频域法的职业护城河：可以"测量出设计"——不需要精确模型，扫频实测就能设计，这是它比根轨迹/状态空间更长寿的原因。