应力张量与平衡方程：弹性力学的语言

导读：Timoshenko《弹性理论》前三章的任务是建立语言：应力张量、应变张量、本构关系。语言建立后，具体问题只是解方程的技巧。

应力张量

一点的应力状态是二阶张量 $\sigma_{ij}$：$i$ 为作用面法向，$j$ 为力方向。微元力矩平衡给出对称性 $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$（六个独立分量）。任意斜面应力由柯西公式 $t_i = \sigma_{ij}n_j$ 给出——张量即「法向到矢量的线性映射」。

主应力与不变量：特征值问题 $\sigma n = \sigma_p n$，三个主应力正交、无剪应力。最大剪应力 $\tau_{max} = (\sigma_1-\sigma_3)/2$——塑性屈服判据（Tresca）的出处。

小应变张量 $\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$——位移梯度对称化。六个应变分量由三个位移分量生成，彼此不独立（相容方程保证位移场存在）。

各向同性线弹性本构（胡克定律广义版）只含两个常数：杨氏模量 $E$ 与泊松比 $\nu$。体积模量、剪切模量皆可由二者表达——材料越「不可压」$\nu$ 越接近 0.5（橡胶），这也是有限元锁定问题的参数背景。

$\sigma_{ij,j} + b_i = 0$（三个方程）+ 本构（六个）+ 几何（六个）+ 边界条件 = 完备定解系统。按边界给法分类：位移边值/应力边值/混合——解的唯一性由应变能正定性保证。