导读：伯努利方程 $p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \mathrm{const}$ 是被误用最多的流体公式。朗道的处理强调它的三个前提：理想流体、定常、沿同一条流线。
从欧拉方程积分出来
沿流线对定常欧拉方程积分：$v\times(\nabla\times v)$ 项消失（速度与涡垂直于流线方向），得到沿流线的伯努利常数。无旋流动时整个流场共享一个常数——前提是流场无旋。
三个前提逐条检查：粘性可忽略（否则沿流线有损失项）、定常（否则积分出现时间项）、同一条流线（或无旋）。工程中「文丘里管、皮托管」都是理想条件的刻意营造。
能量观点与损失项
伯努利各项即比能：压力能 + 动能 + 势能。真实管道流引入损失项（Darcy-Weisbach $h_f = f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}$），能量方程变成带摩擦的账本——水力学计算的标准工具。
经典误用案例：机翼升力的「等时论」（上下表面流速同时到达后缘所以上快下慢）——时间相等并无依据，升力来自环量与库塔条件。
与动量方程的分工
伯努利沿流线给「压力-速度」关系，动量定理给「力-动量流」关系。突然扩大管、射流冲击板等有强烈掺混的问题，伯努利失效、动量定理主场——选对方程比计算本身重要。
常见误区
- 跨流线或跨损失区使用同一伯努利常数。
- 用「等时论」解释机翼升力。
吃透自检
- 能从欧拉方程沿流线积分出伯努利并说明前提
- 能写出含损失的能量方程并用于管道计算
- 能用动量定理处理射流冲击板问题