导读：从拉格朗日到哈密顿的勒让德变换，把二阶方程组变成 $2n$ 维相空间上的一阶方程组——几何与守恒律在这里获得最自然的表达。
勒让德变换与正则方程
广义动量 $p_i = \partial L/\partial \dot q_i$；哈密顿量 $H = \sum p_i\dot q_i - L$（勒让德变换）。运动方程化为一阶对称形式：$\dot q = \partial H/\partial p,\ \dot p = -\partial H/\partial q$。
相空间 $(q,p)$ 的好处：状态是「一个点」，演化是流，守恒律是等能面——几何化完成。$H$ 不显含时间 ⇒ 沿轨道守恒（能量）。
泊松括号
力学量的时间演化 $\dot F = \{F,H\}$。泊松括号的双线性、反对称、雅可比恒等式——李代数的结构浮现。守恒量 = 与 $H$ 括号为零的量，对称性 ↔ 守恒律的翻译器。
正则变换：保持正则方程形式的变换（泊松括号结构不变）。哈密顿-雅可比理论寻找能把问题化为「恒等运动」的正则变换——积分的目标。
与量子力学的接口
泊松括号 ↔ 对易子：$\{\ ,\ \} \to \frac{1}{i\hbar}[\ ,\ ]$。经典力学的正则结构直接移植为量子力学的算符代数——Sakurai 的起点，物理学家偏爱哈密顿形式的终极原因。
常见误区
- 勒让德变换只对「速度二次型」的拉格朗日量 intuition 成立，一般情形需非奇异 Hessian。
- 相空间体积「不守恒」的直觉（刘维尔定理说恰恰守恒）。
吃透自检
- 能对一个具体体系完成拉格朗日→哈密顿的全套变换
- 能用泊松括号验证守恒量
- 能陈述刘维尔定理