柯西积分公式与最大模原理

导读：柯西积分定理与积分公式是复分析的引擎：全纯函数的内部取值由边界完全决定。最大模原理与刘维尔定理是它最锋利的两个推论。

从积分定理到积分公式

柯西积分定理：全纯函数沿闭曲线积分为零（单连通域）。把 $f(z)/(z-z_0)$ 代入即得积分公式：$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{z-z_0}dz$——内部值完全由边界积分决定。

对 $z_0$ 反复求导得到各阶导数的积分表示：全纯函数无穷可微。实分析里需要额外假设的事情，在复世界是自动的。

非常数全纯函数的最大模只能取在边界上。由积分公式的均值性质（圆周平均 = 圆心值）导出：内部点不可能严格大于周围所有点。

推论三连：刘维尔定理（有界整函数必常数）→ 代数基本定理（非常数多项式必有根）；Schwartz 引理（单位圆盘自映射的导数约束）；最小模原理（无零点函数的最小模也在边界）。

用边界值控制内部：误差估计、 uniqueness 论证（两个全纯函数若在边界相等则恒等）。这是复分析「刚性」的日常用法——实分析里需要一列条件，这里一条边界就够。