导读：Stein 第 2-3 章的核心是三个极限交换定理。它们的分工：单调收敛管非负递增列，控制收敛管一般情形（积分极限问题的主力），Fatou 引理是保底不等式。
单调收敛定理（MCT）
非负可测递增列 $f_n \uparrow f$：$\int f_n \uparrow \int f$（允许 $+\infty$）。它没有额外条件，是「最无私」的定理——常用于把一般函数拆成简单函数阶梯后传递积分性质。
控制收敛定理（DCT）与 Fatou
DCT：$|f_n| \le g$（可积的统一控制函数）+ 逐点收敛 ⇒ $\int f_n \to \int f$。它是极限交换的工程主力——条件明确、容易验证。
Fatou 引理是 DCT 的保底版：$\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$（非负情形）。控制函数「跑掉了」时它给出方向正确的不等式；用它证明 DCT 是标准练习。
典型应用模式
积分号下求导：验证 $|\partial_t f| \le g$ 可积，则 $\frac{d}{dt}\int f = \int \partial_t f$。概率论里期望的极限（大数定律的证明）、傅里叶系数的极限，全部走这条模式。
反例直觉：为什么需要控制——「尖峰移民」（宽度趋零高度趋尖的函数列）逐点趋零但积分不变。控制函数就是要没收这种尖峰。
常见误区
- 无控制条件直接交换极限与积分。
- 把 Fatou 引理的不等式方向记反。
吃透自检
- 能陈述三大定理并各配一个标准反例
- 能用 MCT 从简单函数出发证明控制收敛定理
- 能用 DCT 处理积分号下求导的完整算例