导读：卓里奇处理多元微分学的主线是把「可微」定义为线性逼近的存在性，再由此统一方向导数、雅可比、链式法则与隐函数定理。
可微 ≠ 偏导存在
可微的定义：存在线性映射 $L$ 使 $f(x_0+h) = f(x_0) + Lh + o(\|h\|)$。偏导数存在只是 $L$ 在坐标方向上的分量存在——两个偏导存在甚至不能保证连续（经典反例：$xy/(x^2+y^2)$）。
方向导数 = $L$ 在该方向上的取值，可微时方向导数是偏导数的线性组合。可微是「处处有切平面」的数学表达。
链式法则的矩阵面貌
复合映射的雅可比是雅可比的乘积：$J(g\circ f) = Jg \cdot Jf$。这个矩阵观点让链式法则从「公式记忆」变成「线性代数事实」，也是反函数定理 $J(f^{-1}) = (Jf)^{-1}$ 的直接来源。
隐函数定理：可解性的局部判据
$F(x,y)=0$ 在 $\partial F/\partial y \ne 0$ 处可解出 $y = y(x)$。它把「方程有没有解」这个全局难题局部化、线性化，是拉格朗日乘数法、流形理论、微分方程存在性定理的共同祖先。
条件极值的拉格朗日乘数法，本质是隐函数定理的几何推论：约束面的切空间与目标函数梯度正交。
常见误区
- 偏导存在就写切平面方程（必须先验证可微）。
- 隐函数定理条件不验证就直接解出隐函数。
吃透自检
- 能给出可微但偏导不连续的例子并分析
- 能用矩阵语言陈述链式法则与反函数定理
- 能用隐函数定理推导拉格朗日乘数条件