第 1–2 章 · 应力与应变：弹性力学的语言

连续体力学从定义两套张量开始：应力（内部作用力）与应变（形变程度）。弹性的全部理论都在这两套语言的翻译与联立中展开。朗道用他标志性的最短路径，把语言系统两章建完。

应力张量：切面上的力

假想在体内切一个面，两侧物质互相作用力密度 $\mathbf{T}(\hat n)$。柯西定理给出线性关系 $\mathbf{T} = \boldsymbol\sigma\cdot\hat n$——应力张量 $\sigma_{ik}$（9 个分量，对称后 6 个独立）编码任意切面上的牵引力。平衡方程（动量守恒的局部形式）：

应力张量对称性 $\sigma_{ik} = \sigma_{ki}$ 来自角动量守恒（偶应力被略去时）——每个守恒律都对应一条张量性质，朗道式的因果链。

应变张量：形变的几何

位移场 $\mathbf{u}(\mathbf{r})$，两点间距离的相对变化由应变张量刻画：

小形变下的线性化形式。三个不变量：体膨胀 $u_{ii}$（迹）是其中最重要者——体积变化只看迹，剪切不变体积。刚性转动不产生应变（反对称部分被扔掉）——应变张量只测"真正的形变"。

兼容条件与边界条件

应变由位移求导而来，反过来的积分性要求六个应变分量不是独立的——兼容条件（Saint-Venant，四个或以上的微分约束）保证单值位移场存在。边界条件两种：给定表面牵引力（$\sigma_{ik}n_k = P_i$）或给定位移——问题定解的钥匙，列错边界条件是弹性力学第一大错。

老师的提醒

• 应力与应变是两个独立的东西（一个是力、一个是几何），它们靠本构关系才挂上钩——初学最常把两者混为一谈。
• 记住"迹 = 体积变化"与"无迹部分 = 剪切"这个分解：后文弹性常数分组全靠它。

自检

• 柯西定理的内容与应力张量对称性的来源？
• 应变张量为什么扔掉反对称部分？
• 两种边界条件各是什么？

更深一层：应力与应变的"记账分离"原则

应力张量 $\sigma_{ik}$ 与应变张量 $u_{ik}$ 是两本独立的账：前者记内力（柯西四面体 $\mathbf{T} = \boldsymbol\sigma\cdot\hat{\mathbf{n}}$），后者记几何（位移梯度对称化）。把它们连起来的唯一桥梁是本构关系（胡克定律）——这本桥上的账才叫材料性质。初学者最常见的混乱是"把应变当应力讨论"或反之；清晰的做法是每次都问："我现在说的是力（σ）还是形状（u）？"两本账各自的守恒/几何来源也应分开记：σ 的对称来自角动量守恒、u 的定义来自位移场的几何梯度——守恒律管一边、微分几何管另一边。

边界条件的"两本账语法"也随之清晰：给表面力的边界（$\sigma_{ik}n_k = P_i$）是应力账、给位移的边界是应变账——自由表面 = 应力账全零（不是应变零！），这个区别在判断"表面质点振动模式"（Rayleigh 波）等问题时是命门。

推导细读：兼容方程为什么"存在但常被忘"

六个应变分量从三个位移分量求导而来——六个数不独立（三哥三弟分家但爹妈只有三个）。兼容条件（Saint-Venant：应变分量需满足的微分约束）保证"积分回位移场"时单值无裂缝。工程上兼容条件被淡忘的原因：位移法（以位移为未知量）下自动满足——只有应力函数法/混合法才需要它。艾里应力函数 $\chi$（$\sigma_{xx} = \partial_y^2\chi$ 等）之所以让平衡自动成立，正是因为它把未知量升级成"高一层的位势"，平衡被构造吸收、兼容被 $\nabla^4\chi = 0$ 接管——位势法的哲学：把约束吃进定义。

在真实世界里：应变的"仪器视角"

应变测量的仪器视角：电阻应变片测的是表面某方向的线应变（$\pm1\mu\varepsilon$ 级灵敏度）、应变花（三个方向的片）反推主应变大小与方向。主应变/主应力（对称张量的特征分解）与主方向（最大主应力方向 = 疲劳裂纹最爱的萌生方向）是实验应力分析的输出格式。数字图像相关（DIC：散斑 + 相机追踪）是现代版全场应变测量——从"三个片"到"百万点的全场云图"，测的始终是那个 $u_{ik}$。

专题深入：应力与应变的"记账分离"原则完整版

应力张量 $\sigma_{ik}$ 与应变张量 $u_{ik}$ 是两本独立的账：前者记内力（柯西四面体 $\mathbf{T} = \boldsymbol\sigma\cdot\hat{\mathbf{n}}$），后者记几何（位移梯度对称化）。把它们连起来的唯一桥梁是本构关系（胡克定律）——这本桥上的账才叫材料性质。初学者最常见的混乱是"把应变当应力讨论"或反之；清晰的做法是每次都问："我现在说的是力（σ）还是形状（u）？"两本账各自的守恒/几何来源也应分开记：σ 的对称来自角动量守恒、u 的定义来自位移场的几何梯度——守恒律管一边、微分几何管另一边。

边界条件的"两本账语法"也随之清晰：给表面力的边界（$\sigma_{ik}n_k = P_i$）是应力账、给位移的边界是应变账——自由表面 = 应力账全零（不是应变零！），这个区别在判断"表面质点振动模式"（Rayleigh 波）等问题时是命门。

数学细节展开：兼容方程为什么"存在但常被忘"完整版

六个应变分量从三个位移分量求导而来——六个数不独立（三哥三弟分家但爹妈只有三个）。兼容条件（Saint-Venant：应变分量需满足的微分约束）保证"积分回位移场"时单值无裂缝。工程上兼容条件被淡忘的原因：位移法（以位移为未知量）下自动满足——只有应力函数法/混合法才需要它。艾里应力函数 $\chi$（$\sigma_{xx} = \partial_y^2\chi$ 等）之所以让平衡自动成立，正是因为它把未知量升级成"高一层的位势"，平衡被构造吸收、兼容被 $\nabla^4\chi = 0$ 接管——位势法的哲学：把约束吃进定义。

工程案例细节：应变的"仪器视角"工程版

应变测量的仪器视角值得标注：电阻应变片测的是表面某方向的线应变（$\pm1\mu\varepsilon$ 级灵敏度）、应变花（三个方向的片）反推主应变大小与方向。主应变/主应力（对称张量的特征分解）与主方向（最大主应力方向 = 疲劳裂纹最爱的萌生方向）是实验应力分析的输出格式。数字图像相关（DIC：散斑 + 相机追踪）是现代版全场应变测量——从"三个片"到"百万点的全场云图"，测的始终是那个 $u_{ik}$。