引言
弹性力学研究可变形固体在载荷作用下的应力、应变和位移。平面问题是工程中最常见的简化模型，其解法核心是Airy应力函数的构造。本文从三大基本方程出发推导Airy函数通解，并给出悬臂梁的经典算例。
基本方程
平衡微分方程（无体力）
$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} = 0$$
$$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} = 0$$
几何方程
$$\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}$$
物理方程（平面应力，各向同性线弹性）
$$\varepsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \nu \sigma_y)$$
$$\varepsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \nu \sigma_x)$$
$$\gamma_{xy} = \frac{2(1+\nu)}{E} \tau_{xy}$$
Airy 应力函数法
引入应力函数 $\Phi(x, y)$：
$$\sigma_x = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}, \quad \sigma_y = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}, \quad \tau_{xy} = -\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y}$$
平衡方程自动满足，代入相容方程得双调和方程：
$$\nabla^4 \Phi = \frac{\partial^4\Phi}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4\Phi}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4\Phi}{\partial y^4} = 0$$
算例：悬臂梁端部集中力
Airy 函数设为：$\Phi = Axy^3$。代入边界条件：
$$\sigma_x(x, y) = 6Axy, \quad \sigma_y = 0, \quad \tau_{xy} = -3Ay^2$$
顶部/底部无剪力条件要求 $-3A h^2/4 = 0$，需修正应力函数。正确形式为：
$$\Phi = Axy^3 + Bxy$$
截面二次距 $I = bh^3/12$，最终正应力分布：
$$\sigma_x(x, y) = -\frac{My}{I}, \quad M(x) = P(L - x)$$
数值算例
取悬臂梁参数如下表，计算固定端截面（$x = 0$）的弯曲正应力沿高度分布：
| 参数 | 符号 | 数值 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 梁长 | $L$ | 500 | mm |
| 截面宽度 | $b$ | 20 | mm |
| 截面高度 | $h$ | 40 | mm |
| 端部载荷 | $P$ | 2000 | N |
| 弹性模量 | $E$ | 210 | GPa |
import numpy as np
L, b, h, P = 500.0, 20.0, 40.0, 2000.0 # mm, N
I = b * h**3 / 12.0 # 截面二次矩 mm^4
y = np.linspace(-h/2, h/2, 9) # 沿截面高度取 9 点
sigma_x = -P * L * y / I # 固定端弯曲正应力 (MPa)
for yi, si in zip(y, sigma_x):
print(f"y = {yi:+5.1f} mm, sigma_x = {si:+7.2f} MPa")
# 上下表面应力幅值：±93.75 MPa，中性轴处为零，呈线性分布结论
Euler-Bernoulli 梁的弯曲正应力公式是 Airy 函数解的特例。数值算例验证了应力沿截面高度的线性分布规律，这与材料力学初等解完全一致，说明平面问题应力函数法在细长构件上退化为初等理论。
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