第 IV–V 篇（部分） · 规划与不确定性（第 10–17 章）

规划 = 搜索 + 逻辑的行动版（先想好一串动作）；不确定性 = 概率登场后的推理与决策（贝叶斯网络、时序模型、效用与决策）。这两条线在"部分可观测随机环境"中会师。

规划：行动的形式化与经典规划

PDDL 式行动描述（前置条件 + 效果：增删原子）→ 状态空间搜索。加速技术：前向/后向搜索 + 状态表示的位向量化、启发式规划（删除松弛启发式 $h_\text{add}$、$h_\text{max}$——把"效果不删除事实"的松弛问题解当 $h$）；偏序规划（动作间只保序约束，插队自由）与图规划（Graphplan 的互斥传播）。层次任务网络（HTN）把"怎么做"的知识写成任务分解——人类专家知识的编码通道。

概率与贝叶斯网络

随机世界的数学：完整联合分布指数爆炸 → 贝叶斯网络用条件独立性压缩：

• 推断：精确（枚举、变量消元——动态规划的边缘化）与近似（重要性采样、吉布斯/MCMC——大网络的主力）；
• 因果与诊断的反向使用（$P(\text{病}|\text{症状})$ 贝叶斯更新——医疗诊断系统的语言）；
• 时序模型：隐马尔可夫 + 卡尔曼滤波的统一（动态贝叶斯网络），滤波/预测/平滑三任务。

效用与决策

偏好公理（完备、可传递、连续、可替换）⟹ 效用函数存在；最大期望效用（MEU）原则：

价值迭代/MDP 是 MEU 的序列版（衔接 RL）；多属性效用与决策网络的（影响图）条件规划——不确定性下的完整决策机器。简单决策（信息价值 VPI）给出"值不值得再花钱收集信息"的公式：$VPI \ge 0$ 且有上界。

老师的提醒

• 概率推理的通用纪律：先画网络（因果方向）→ 写因子 → 问什么边缘化什么——变量消元的顺序就是计算图的设计。
• MEU 的工程翻译：枚举后果 → 概率加权效用 → 取 argmax；强化学习的价值函数就是它的滚动版。

自检

• 贝叶斯网络的因子化与 d-分离？
• 卡尔曼滤波是哪种动态贝叶斯网络的精确解？
• VPI 公式与它的非负性？

更深一层：贝叶斯网络是"联合分布的因子化表示"

贝叶斯网络 $P(X_1,\dots,X_n) = \prod_i P(X_i|\text{Parents}(X_i))$ 的全部力量在一个代数事实：条件独立性把指数爆炸的联合分布压缩成紧凑的因子积。2^30 项的联合分布压成 30 个条件概率表——这个压缩是"概率推断可计算"的全部前提。d-分离（图结构判条件独立）是读网络的方法：链式/分叉/对撞三种连接模式的信息流通规则，配马尔可夫毯（一个节点的条件独立只依赖它的"邻居圈"）——图结构与概率语义的双向对应是本章的灵魂。

推断的两条路线：精确（枚举/变量消元——动态规划的边缘化）与近似（重要性采样/吉布斯 MCMC——大网络的主力）。隐马尔可夫 + 卡尔曼滤波的统一（动态贝叶斯网络）把时序模型接入同一框架——滤波/预测/平滑三任务在 DBN 里统一。

推导细读：MEU 与 VPI——"信息有价"的公式

最大期望效用（MEU）原则把"理性决策"形式化：$\text{action} = \arg\max_a\sum_{s'}P(s'|a)U(s')$。它的工程翻译：枚举后果 → 概率加权效用 → 取 argmax。信息价值（VPI = 完美信息下的期望效用 − 无信息的期望效用）回答"值不值得再花钱收集信息"——VPI ≥ 0 恒成立（信息不会让决策变差），且有上界（完美信息的免费上限）。医疗检查该不该做、市场调研该不该花、A/B 测试的样本量——VPI 是"信息经济学"的通用计算器。

在真实世界里：概率图模型的"工业战场"

贝叶斯网络的工业战场：医疗诊断（症状 → 疾病的反向推断——贝叶斯更新是医疗 AI 的语言）、故障诊断（设备故障的原因定位——同构问题）、基因分析（连锁不平衡的概率图模型）、推荐系统（用户-物品-上下文的因子图）。变量消元与 MCMC 的分工（小网络精确、大网络采样）是概率推断的算法选型基线。

专题深入：时间序列推理与"滤波引擎谱系"完整版

AIMA 第十五-十七章把概率推理放到时间轴与决策轴上。时序模型（马尔可夫链 → 隐马尔可夫 → 卡尔曼滤波 → 动态贝叶斯网络——"同一张转移矩阵的四代皮肤"：HMM 用离散状态、卡尔曼用线性高斯（精确推断存在！预测-更新两步闭式）、DBN 任意结构采样/近似推断）；滤波-预测-平滑-最可能路径四任务的分工（滤波：现在是什么（$P(X_t|e_{1:t})$）；预测：将来是什么；平滑：过去是什么（RTS 平滑器——数据都到齐后回看，精度更高）；Viterbi：整条最可能轨迹）；粒子滤波（非高斯非线性时代的通用答案：重要性采样 + 重采样的序贯版——"用一堆带权粒子表示信念"，粒子贫化的对策）；决策网络（效用 + 决策节点 + 机会节点的单步决策——期望效用最大化的图形式）；信息价值 VPI（$\sum P(结果)\,\mathrm{MEU}(e_{新}) - \mathrm{MEU}(当前)$——"这条信息值多少钱"的公式：观测永远不降低期望效用，但采集有成本——"值不值得做检查"的数学）。

推导细读：效用理论的"公理与组合"完整版

第十六章的公理化值得一读再读：偏好必须满足的公理（有序性、传递性、替代性（若 A ≻ B 则混合任何 C 后仍 ≻）、连续性、可替代性——违反任何一条会被"钱泵"套利："你若违反理性公理，就能被设计成亏光钱"——冯诺依曼-摩根斯坦定理给出效用函数存在性）；期望效用 $EU(a) = \sum_s P(s|a)U(s(a))$ 与最大期望效用决策是"理性"的完整定义；风险态度（效用函数的曲率 = 风险厌恶（凹）/中性（线性）/寻求（凸）——保险与赌场的商业模式都建在曲率上）；组合拍卖与多智能体效用（17 章预告：博弈均衡、机制设计——"拍卖设计与匹配市场"让效用理论走向制度工程）。"效用不可加可比较"的边界讨论（人际效用比较、阿罗不可能定理——集体决策的数学天花板）。

工程案例细节：滤波与决策的工程出口工程版

十五-十七章的工程出口：卡尔曼滤波的百年统治（阿波罗登月导航、无人机姿态、目标跟踪、手机定位融合（GNSS + IMU 的互补卡尔曼——低成本 IMU 漂移靠 GNSS 修正，扩展卡尔曼处理非线性）；粒子滤波的岗位（机器人定位 Monte Carlo 定位（"绑架机器人问题"的标准解）、视觉跟踪、金融的随机波动率滤波）；DBN 的现代变体（Transformer 式的序列状态空间模型（S4/Mamba 的状态空间谱系——"卡尔曼思想的深度学习化"）；决策网络的用法（广告投放的单步决策、医疗检查顺序的 VPI 排序——"先做信息价值高的检查"的检查清单优化）；多智能体的机制设计（频谱拍卖的 CCA 设计、打车派单的匹配市场——"机制设计 = 逆向博弈论"：不预测玩家而设计规则）。"信念状态 + 期望效用"两个概念管住了从导航到拍卖的半个 AI 世界。