导读：变分法与欧拉-拉格朗日方程是「从泛函极值到物理定律」的桥梁：大自然选择的路径让作用量取驻值。
泛函极值的必要条件
泛函 $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')dx$ 在扰动 $y + \varepsilon\eta$（$\eta$ 端点为零）下取驻值，一阶变分为零：$\delta J = \int (F_y \eta + F_{y'}\eta')dx = 0$。分部积分把 $\eta'$ 的项转给 $F_{y'}$，边界项因 $\eta$ 端点为零而消失。
被积函数连续任意 $ ilde\eta$ ⇒ 欧拉-拉格朗日方程：$\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} - \frac{\partial F}{\partial y} = 0$。这条二阶 ODE 就是「极值曲线的方程」。
三种可积特例
$F$ 不含 $y$：$\partial F/\partial y' = C$（动量守恒）；$F$ 不含 $x$：Beltrami 恒等式 $F - y'F_{y'} = C$（能量守恒）；$F$ 只含 $y'$：直线索解。力学里对应动量与能量守恒——诺特定理的雏形。
经典算例：最速降线（$F = \sqrt{1+y'^2}/\sqrt{2gy}$，解为摆线）；测地线（球面上为大圆）；等周问题（约束变分 + 乘数法）。
约束与乘数
约束 $G(x,y)=0$ 下极值：引入乘数 $\lambda$ 修改 $F^* = F + \lambda G$ 再用欧拉-拉格朗日。$ ilde\lambda$ 的物理身份是约束力——这就是拉格朗日乘数法在变分法中的原型。
常见误区
- 把端点条件当自动满足——自由端点会导出横截条件。
- 忽略勒让德条件等二阶变分判断（欧拉-拉格朗日只是必要条件）。
吃透自检
- 能完整推导欧拉-拉格朗日方程含边界项讨论
- 能用 Beltrami 恒等式解最速降线
- 能解释乘数的力学意义