导读：Feller 卷一的点睛之笔：生成函数把数列「编码」成幂函数的系数，递推关系变成代数方程——离散概率的半壁江山由此解锁。
定义与基本操作
数列 $\{a_n\}$ 的生成函数 $G(s) = \sum a_n s^n$。加法对应数列相加，乘法（柯西乘积）对应卷积——「独立试验相加」的分布计算自动化为幂次运算。
经典应用：掷骰子 $n$ 次总和为 k 的方案数 = $(s+s^2+\dots+s^6)^n$ 的 $s^k$ 系数。组合计数问题一夜之间变成多项式展开。
解递推关系
斐波那契 $a_n = a_{n-1}+a_{n-2}$ 翻译为 $G(s) = \frac{s}{1-s-s^2}$，部分分式分解后系数显式化：Binet 公式。线性递推的通解 = 特征根的幂次组合，与生成函数的极点结构一一对应。
Feller 的招牌案例：首次返回时间、分支过程的灭绝概率——微分方程与递推在生成函数空间互化。
与概率的联系
归一化的生成函数就是概率母函数：$G(1) = 1$。期望 $= G'(1)$、方差由 $G''(1)$ 给出——矩计算变成求导练习。复合分布（随机个随机变量之和）的母函数 $G_H(s) = G_N(G_X(s))$ 是保险与排队论的标准武器。
常见误区
- 对发散数列定义生成函数而不关心收敛域。
- 复合分布公式记错嵌套顺序。
吃透自检
- 能用生成函数解斐波那契与卡特兰数的递推
- 能推导复合分布的母函数公式
- 能用母函数计算期望与方差