大数定律与中心极限定理的分工

导读：Feller 第 10 章的骨架：大数定律回答「长期平均在哪里」，中心极限定理回答「围绕它的涨落有多大」。两个定理不重复，是互补的两层。

大数定律：位置的稳定性

弱大数：独立同分布且期望存在，则 $\bar{S}_n/n \to \mu$ 依概率收敛。强大数：几乎必然收敛（需要更多技术）。它保证「频率稳定于概率」——频率解释的数学支柱。

注意期望不存在时（柯西分布）大数定律失效：样本平均的分布与单次样本相同，永远不「稳定」。这不是技术细节，是期望定义的试金石。

$\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \to \mathcal{N}(0,1)$：涨落按 $\sqrt{n}$ 标度，且分布形状趋于正态——与原始分布无关（只要求方差有限）。这解释了正态分布的无处不在：它是「大量独立微小贡献叠加」的普适形状。

大数定律与 CLT 的换算：CLT 给出的 $O(\sqrt{n})$ 涨落相对 $O(n)$ 的总量是 $O(1/\sqrt{n})$ → 趋零 → 大数定律。后者不蕴含前者（CLT 需要方差存在）。

CLT 是关于分布收敛，不是关于单条样本路径；二项分布的正态近似在尾部（大偏差区域）不可靠——精确计算要用二项式系数（大偏差理论是现代补丁）。