随机游走与反射原理：赌徒破产问题

导读：Feller 用随机游走统一了赌徒破产、首中时间、返回概率——反射原理是其中最漂亮的组合武器。

一维随机游走

每步 ±1 等概率。$S_n$ 的位置分布由二项式系数给出；从原点出发经 $2n$ 步首次回到原点的概率 $f_{2n} = \binom{2n}{n}/(2n-1)2^{2n}$——由首中时间与末次返回的变换关系得到。

重要事实：一维与二维游走常返（概率 1 回到原点），三维非常返（可能永远漂走）。Pólya 定理——维度决定命运。

从 $a$ 到 $b$ 且路径触及零点的路径数 = 从 $-a$ 到 $b$ 的路径数（把首次触零前的路径镜像）。这一映射立刻给出：赌徒破产概率、首达时间的显式公式、Catalan 数的组合解释。

赌徒破产：本金 $z$、目标 $a$、每步胜率 $p$——破产概率有闭式公式（$p\ne q$ 时 $( (q/p)^a - (q/p)^z ) / ( (q/p)^a - 1 )$）。公平赌局最终破产是必然（$p=q=1/2$ 时概率 1）。

随机游走的中心极限定理版本给出布朗运动的离散近似——Feller 专门展示标度极限 $S_n/\sqrt{n}$ 的收敛图像。这是从组合概率通往连续随机过程的桥，也是本站随机偏微分方程文章的源头。