导读：伽罗瓦理论是 Artin 代数书的高潮：五次方程没有根式解，这个 300 年悬案被「域扩张 ↔ 群」的对应一步翻译掉。
对应的两个方向
给定域扩张 $E/F$，自同构群 $\mathrm{Gal}(E/F)$ 是保持 $F$ 的 $E$ 的对称群；反过来，群的子群对应中间域 $E^H$。有限伽罗瓦扩张下，这是一对完美互逆的反序对应。
「域的问题 → 群的问题」的翻译表：子域 ↆ 子群；扩次数 $[E:F]$ = 群阶；正规扩张 ↔ 正规子群；可解扩张 ↔ 可解群。
五次方程为何无解
一般五次方程的伽罗瓦群是 $S_5$；根式解要求群可解（有合成列、因子为素数阶循环）。$S_5$ 含单群 $A_5$（60 阶单群），不可解——故一般五次方程无根式解。
尺规作图的翻译：可作图 = 域次数为 2 的幂。三等分角、倍立方、化圆为方全部由此判死——对应一次学会，解决四个千年问题。
具体计算训练
从 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 算起：四次扩张、Klein 四元群、三个中间域——第一个完整的伽罗瓦对应练习。随后二次/三次方程求根公式重新推导为伽罗瓦群的特例。
常见误区
- 以为不可解 = 没有解（根存在，只是没有根式表达）。
- 对非正规扩张滥用伽罗瓦对应。
吃透自检
- 能完整算出 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 的伽罗瓦对应
- 能陈述可解群定义并证明 $S_3$ 可解、$S_5$ 不可解
- 能用域次数论证三等分角不可能