高阶格式：MUSCL 与 limiters 如何抑制振荡

导读：二阶以上的激波捕捉格式面临悖论：高阶区域要低耗散，间断处要无振荡。limiter 是这道题的工业解。

MUSCL：让重构线性化

把分段常数重构升级为分段线性：界面两侧的左/右状态由相邻单元值外推 $u_{i+1/2}^- = u_i + \frac{1}{2}\phi(r_i)(u_i - u_{i-1})$，其中 $r$ 是相邻梯度比。

limiter 函数 $\phi(r)$ 决定外推的「克制程度」：minmod 最保守、superbee 最激进、van Leer 居中。选择影响激波陡度与光滑区精度的平衡。

TVD（总变差不增）保证无新振荡。Sweby 图给出 limiter 的可容许区间：$\phi$ 必须落在由 $\phi=1$、$\phi=r$ 围成的区域内。二阶精度与 TVD 不能兼得（极值点处必退化为一阶）——这不是缺陷，是定理。

更高阶（ENO/WENO）放弃 TVD 改用「自适应选择最光滑模板」，在光滑区拿到五阶、间断附近保持无振荡。

时间积分用 SSP-RK（保 TVD 的 Runge-Kutta）；CFL 一般取 0.4-0.6。调试时先算 Sod 算例，再看双马赫反射这类强间断考题。