Godunov 格式与 Riemann 问题：Sod 激波管手写实现

导读：Godunov 格式把解看成常数段的拼接，每一步解无数个局部 Riemann 问题。手写一遍 Sod 激波管，是理解现代激波捕捉格式的最短路径。

Riemann 问题：最小的考卷

初值为左右两个常状态的守恒律 $u_t + f(u)_x = 0,\ u(x,0) = u_L/u_R$，其自相似解 $u(x/t)$ 是一切格式的积木。线性情形解是间断的加权平均；非线性欧拉方程则由稀疏波/接触间断/激波三种波构成。

精确 Riemann 求解器要迭代求界面压力；近似求解器（Roe、HLL）用线性化或区间估计换速度——精度与稳健性的永恒交易。

重构（分段常数）→ 演化（界面 Riemann 解的平均通量）→ 平均。一阶 Godunov 耗散大，但它是所有高阶方法的骨架：MUSCL 只是把「重构」升级为线性重构 + limiter。

实现清单：守恒形式更新 $u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{\Delta t}{\Delta x}(\hat f_{i+1/2} - \hat f_{i-1/2})$，通量由界面 Riemann 解给出。

密度/速度/压力三个剖面：激波陡峭无振荡、接触间断允许适度模糊、稀疏波内单调。与精确解逐点对比 L1 误差，网格加密一阶收敛。