导读：Golub 特征值章节的三条主线其实是一条思想链：把矩阵反复「正交相似变换」，直到看不见原结构。
幂法与其加速
幂法迭代 $v_{k+1} = Av_k/\|Av_k\|$ 收敛到主特征向量，速度 $|(\lambda_2/\lambda_1)|^k$。位移反转 $（A-\sigma I)^{-1}$ 可瞄准任意目标特征值——代价是每步解一个线性系统。
QR 算法：幂法的隐式并联
QR 算法等价于同时对所有特征向量做幂法：正交相似变换 $A \to QR,\ A \to RQ$。位移策略（Wilkinson 位移）让它对对称阵三次方级收敛。工程实现分两步：先化为 Hessenberg/三对角，再迭代——每步成本从 $O(n^3)$ 降到 $O(n^2)$/$O(n)$。
Krylov 子空间：大规模时代的答案
Lanczos（对称）/Arnoldi（非对称）只用矩阵-向量乘构造 Krylov 子空间 $\mathcal{K}_m = \mathrm{span}\{v, Av, \dots, A^{m-1}v\}$，在其中求 Ritz 值。稀疏大矩阵的特征值问题从此可解。
本站 POD 文章的快照法与 Krylov 同源：都是在低维子空间里逼近高维算子。
常见误区
- 对稠密小矩阵用 Lanczos——直接 QR 算法更快更稳。
- 非对称矩阵用对称 Lanczos，得到毫无意义的复共轭对。
吃透自检
- 能说明 QR 算法与幂法/位移反转的等价关系
- 能解释 Hessenberg 化的降本作用
- 能针对「稀疏对称求前 k 个特征值」给出完整算法路线