导读：Trefethen & Bau 第 7-8 讲给出了数值线性代数的核心裁判标准：向后稳定性。经典 Gram-Schmidt 在这里栽了跟头。
正交是数值生命线
正交变换保持 2-范数：$\|Qx\|_2 = \|x\|_2$。用正交矩阵做变换不会放大误差——这就是 QR/SVD 稳定的根源。
经典 Gram-Schmidt（CGS）对接近线性相关的列会失去正交性（损失 $ ilde O(\kappa)$ 级），修正 Gram-Schmidt（MGS）把投影改成「逐列减」，数值行为好一档，但仍不如 Householder。
Householder 镜像
Householder 反射 $H = I - 2vv^T/(v^Tv)$ 把一列向量镜像到坐标轴方向，天然正交、天然稳定。代价是只给出 $QR$ 因子而不能「顺便」提供正交基的逐步信息——MGS 在需要逐列正交基的场景（如 Arnoldi）仍占一席。
向后稳定的裁判语言
称一个算法向后稳定，若它算的是「邻近问题的精确解」。Trefethen 的裁判式：对求 $Ax=b$，看算出的是否满足 $(A+\delta A)\hat x = b+\delta b$ 且 $\delta$ 为机器精度级。Householder QR 过关，CGS 不过关。
常见误区
- 用 CGS 处理病态矩阵的正交化，然后奇怪为什么结果不正交。
- 以为 MGS 输出的 $Q$ 是真正的正交阵（其列仅近似正交）。
吃透自检
- 能写出 CGS 与 MGS 的伪代码并指出差别
- 能复述向后稳定性定义并举出正反例
- 能解释 Arnoldi 为什么必须用 MGS 而非 Householder