第 3–4 章 · 形函数与单元离散

弱形式里的积分是沿全域做的，有限元把它切成单元分别算。这一节讲单元内部的"语言"：形函数。它是把连续场翻译成节点数值的字典。

形函数的两个身份

单元内任意场量用节点值插值：

$N_a(\xi)$ 是形函数，它有两个必须满足的身份：在节点 $a$ 处 $N_a = 1$、其他节点处 $N_a=0$；单元内所有形函数之和恒等于 1（完备性，保证能表达刚体位移与常应变）。一维两节点单元的形函数是线性函数 $N_1 = 1-\xi$、$N_2 = \xi$；三节点单元是二次的。

应变-位移矩阵 B

位移是节点值插值出来的，应变是位移的空间导数——于是应变自然也是节点值的线性组合：

$\mathbf{B}$ 矩阵把"几何插值信息"全部封装，单元刚度阵随即写成紧凑形式：

其中 $\mathbf{D}$ 是材料本构矩阵。这个三明治结构（$B^T D B$）是所有位移型有限元的通用公式，传热问题里把 $B$ 换成温度梯度形函数即可。

协调性与完备性

收敛（随网格加密逼近真解）需要两个条件：完备（形函数能表达常应变状态，即和为 1）与协调（单元边界上场量连续，不裂开）。板壳的 $C^1$ 单元难点正在于要保法向导数连续，这解释了为什么板单元历史上五花八门。

老师的提醒

• 检验任何新单元，先做两个测试：分片线性位移（应精确再现零应变）与常应变测试。过不了这两个测试的单元不必再看。
• 节点编号影响带宽：好程序会自动优化编号，但理解带宽概念有助于诊断内存与耗时异常。

自检

• 形函数的两条必须性质是什么？它们分别保证什么？
• 写出单元刚度阵的三明治形式并说出各矩阵含义。
• 完备性与协调性分别对应收敛的哪个要求？

更深一层：形函数是有限元的"词汇表"

形函数决定了有限元的整个"语言能力"：能表达什么样的位移场（完备性）、单元之间如何对话（协调性）、积分后的矩阵长什么样（稀疏模式）。二阶读懂有限元论文，只需要认识两族词汇——拉格朗日族（所有节点包括内部节点，完整多项式）：四边形双线性 $Q_1$、双二次 $Q_2$；serendipity 族（去掉内部节点，边界节点）：八节点四边形。两族的取舍：拉格朗日完整但内部节点浪费自由度，serendipity 省节点但多项式空间略欠。三维的对应：六面体八节点（$Q_1$）、二十节点（$Q_2$ 的 serendipity 版）——工业实体单元的两大主力。

再看"高阶意味着什么"：$p$ 每升一阶，单元内可表达的多项式次数升高，光滑问题上误差按 $h^{p+1}$ 下降——升阶是比加密更高效的收敛方式（p 收敛指数级 vs h 收敛代数级）。p-FEM 与谱元法的存在理由即此；代价是矩阵稠密度上升与积分更贵。

推导细读：B 矩阵是"几何信息的集中营"

单元的一切几何信息都被压进 $\mathbf{B}$ 矩阵：一维时 $B = (-1/L, 1/L)$——单元越长 B 越小（应变对位移差不敏感）；二维双线性单元的 B 含 $(\xi, \eta)$ 的线性函数（应变在单元内线性变化）；等参映射后 B 里还混进雅可比的逆。单元刚度阵 $\int B^TDB\,d\Omega$ 的全部品质——对称、稀疏、条件数、锁死倾向——都是 B 的性质。一个实用的诊断视角：检查单元畸形就是检查 $\det J$ 的分布；雅可比在单元内剧烈变化（扭曲、边中点偏移）意味着 B 剧烈变化，积分点再密也采不全。网格质量指标的数学本体就是"B 的良态程度"。

在真实世界里：单元库的选购指南

商业软件的单元库动辄几十种，选购逻辑其实只有三问。第一问：问题的力学维度——平面应力（薄板拉伸）/平面应变（长隧道）/轴对称（压力容器旋转体）/三维？第二问：主导变形——拉压为主的薄壁选壳单元（节点自由度带转动）、厚壁与局部细节选实体、细长杆系选梁（一根单元跨整个构件，工程效率之王）。第三问：精度预算——线性单元 + 密网格（便宜、稳健、精度渐进）vs 二次单元 + 中等网格（贵、精确、接触收敛难）。一个常见的黄金组合：整体用线性壳快速扫，应力集中细节区域切二次实体局部细化（子模型法）。

常见误区与辨析

• "节点越多越准"：只有自由度落在"能表达真实变形"的空间里才算数；线性单元画一道纯弯曲梁，单元内位移天生是线性的、弯曲必锁死——加节点不如加阶次或换减缩积分。
• "内部节点没用"：对拉格朗日族，内部节点提供 bubble 函数提升单元内精度；p 版有限元的内部模态是其高收敛率的秘密。
• "协调性可以牺牲"：非协调单元（如某些板元）能通过分片检验时可用且有惊喜（更柔、更快收敛），但使用者必须知道自己在赌什么——论文里的"非协调但通过分片检验"条件不可省略。

专题深入：分片检验——单元的"出厂合格证"

分片检验（patch test）是单元合法性的出厂检验：在单元分片上做常应变测试——过得了分片检验的单元才有资格谈收敛（完备性 + 协调性的操作化）。检验的具体操作：给分片加常应变对应的边界位移，检查单元内部是否精确再现常应变状态。非协调单元（Wilson 非协调元、某些板元）的"通过分片检验"是它们合法性的全部依据——论文里"非协调但通过分片检验"的条件不可省略。这个检验的工业地位：新单元类型的验收标准就是"先过分片检验再上基准算例"——单元库的每一员都经过这两关。

数学细节展开：等参映射的雅可比条件——"不翻转"的代数

等参映射的合法性条件 $\det\mathbf{J} > 0$（处处）值得展开：雅可比行列式是"局部面积缩放因子"，负值意味着单元翻转（映射把内点翻到外面）。网格质量检查的数学出处就在这：$\det J$ 接近常数（单元方正）、$\det J$ 剧烈变化（应力精度差）、$\det J \le 0$（单元翻转、一切完蛋）。曲边单元在尖角处（裂纹尖端）雅可比恶化——裂纹问题要用专门的奇异单元（1/4 节点单元，Barsoum），不是加密普通单元。这就是"裂纹尖端的应力奇异性需要特殊单元"的代数根源。

工程案例细节：单元库的"采购目录"

商业软件的单元库采购目录按"力学维度"分类：杆/梁（一根单元跨整个构件——工程效率之王）、壳（薄壁结构——节点自由度带转动）、实体（三维细节——六面体/四面体）、平面（平面应力薄板/平面应变长隧道/轴对称旋转体）。选购逻辑三问：力学维度？主导变形？精度预算？——细长杆系选梁、薄壁选壳、厚壁局部选实体。"黄金组合"：整体用线性壳快速扫，应力集中细节区域切二次实体局部细化（子模型法）。