第 6 章 · 不可压 N-S 方程的数值解：压力的麻烦

不可压 N-S 方程看起来只是"第 2 章方程 + 粘性项"，数值上却有一个独特陷阱：压力没有自己的方程，它藏在连续方程里。这一节的任务就是解决"压力从哪来"。

压力的特殊地位

动量方程里有压力梯度，但连续方程 $\nabla\cdot\mathbf{V}=0$ 里没有压力。压力实际上扮演"约束力的角色"：它的唯一使命是让速度场保持无散。数学上，对动量方程取散度可以推出压力满足泊松方程：

所以每一步都要解一个泊松方程——这是不可压流计算最贵的部分，也是所有投影类方法的核心。

交插网格：治好棋盘压力

把压力和速度存在同一批点上，会出现一个灾难：$p_{i-1}$ 和 $p_{i+1}$ 的锯齿形"棋盘"压力场对中心差分的 $\frac{p_{i+1}-p_{i-1}}{2\Delta x}$ 完全不可见——方程管不了它。交插网格（MAC/Staggered）把压力存格心、$u$ 存竖边、$v$ 存横边，压力梯度变成相邻两点的一阶差分，棋盘模式自然消失。这是不可压流动数值方法的奠基性技巧，今天 Simple 系列算法的网格安排仍源于此。

SIMPLE：压力修正的迭代循环

SIMPLE（半隐式压力关联方程）的每一轮迭代： 1. 猜一个压力场 $p^*$，解动量方程得速度 $u^*$； 2. $u^*$ 一般不满足连续方程，定义速度修正与压力修正的关系 $u' = -\frac{V}{a_P}\frac{\partial p'}{\partial x}$； 3. 代入连续方程，得压力修正泊松方程，解出 $p'$； 4. 用 $p'$ 修正压力和速度，回到第 1 步，直到残差足够小。

理解 SIMPLE 的关键：它不是一次解对，而是把"动量 + 连续"耦合拆成"猜-修"循环，每轮便宜、多跑几轮。

老师的提醒

• 方腔算例是你的"第一支烟"：网格 $41\times41$、雷诺数 100，先复现出主涡，再谈别的。
• 压力修正类方法的松弛因子要调：动量方程 0.5-0.7、压力修正 1.0-1.3 是常见起点，发散先降松弛因子。

自检

• 为什么同位存储会出棋盘压力？交插网格怎么解决？
• 写出 SIMPLE 四步循环。
• 不可压计算为什么每步都要解泊松方程？

更深一层：压力在不可压流里的"裁判"角色

不可压流动最反直觉的一点：压力没有自己的演化方程。可压流里压力由状态方程从密度、内能算出（能量方程管它）；不可压极限下密度、温度的波动被冻结，压力退化为纯粹的约束力——它不描述任何热力学状态，唯一职责是让速度场保持无散。数学上，对动量方程取散度（利用 $\nabla\cdot\mathbf{V} = 0$）得到压力泊松方程，其右端是速度场的非线性自耦合项。

这个"裁判"角色带来一个深远的计算后果：压力是全局量。某处速度想发散，压力在全场瞬间调整约束之——所以每步都要解一个椭圆方程，信息瞬时传遍全域（对比可压流里声波有限速传播）。不可压 CFD 的算力大头（70% 以上）都花在泊松方程上，多重网格是公认的解药——它正是"让椭圆方程的信息传播加速"的专用机器。

推导细读：棋盘压力的病理解剖

把压力与速度放在同一批节点（同位网格）上，中心差分 $p_{i+1} - p_{i-1}$ 对锯齿形压力场 $p_i = (-1)^i$ 完全失明（相邻差分为零、跨点差分非零——差分模板"看错"了波长）。这个棋盘解在离散方程的眼里与零压力场不可区分，于是迭代过程随时滑进去。三种解毒剂： 1. 交插网格（MAC）：压力存格心、$u$ 存东西边、$v$ 存南北边——压力梯度变成相邻点的差分，棋盘模式被模板天然禁止； 2. 动量插值（Rhie-Chow）：同位网格上用相邻节点速度线性组合压力梯度，恢复对棋盘的免疫力——现代非结构求解器的标配； 3. 交错滤波：每次迭代后手动滤除锯齿分量——治标不治本，仅作急救。

第 2、3 种的区别值得体会：Rhie-Chow 是把"模板与波长匹配"的物理直觉翻译成插值公式，而滤波只是事后补救。好的离散化让病态无法诞生，坏的离散化让病态需要治疗——这句评语适用于数值方法的几乎所有疾病。

在真实世界里：SIMPLE 家族统治着工程不可压计算

从 1972 年 Patankar 与 Spalding 的 SIMPLE 到今天的 SIMPLER、SIMPLEC、PISO（瞬态标准）、Coupled 算法，这条算法谱系撑起了 Fluent、Star-CCM+、OpenFOAM 的不可压求解内核。工程选择的实用经验：定常问题 SIMPLE/SIMPLEC 稳健省内存；瞬态问题 PISO 每步少迭代；强耦合流动（浮升、旋转腔）Coupled 收敛虽慢单步更稳。诊断口诀：发散先降松弛因子、振荡先查网格畸变、停滞先怀疑压力速度耦合设置——这三句能解决新手 80% 的"算不动"。

常见误区与辨析

• "压力结果直接可信"：同位网格 + 差值格式得到的压力需要后处理校正；即便是正确解，压力的绝对值依赖参考点，比较时用压差而非绝对压力。
• "收敛 = 残差小于 10^-3"：残差下降三个量级是起点不是终点；监测物理量（出口流量、监测点压力）的平台化才是收敛的实操判据。
• "方腔流算不好是网格问题"：方腔高雷诺数的"角落涡"对网格与格式都敏感——先与文献基准（Ghia 的表格解）对比定位问题源。

专题深入：投影方法——不可压流计算的"另一家族"

SIMPLE 家族之外，不可压流还有一条重要的算法谱系：投影方法（Chorin 的 fractional-step）。思路直接劈开"动量推进"与"压力投影"两步：第一步（预测）不考虑压力，推进速度到中间态 $\mathbf{u}^*$（违反无散）；第二步（投影）把 $\mathbf{u}^*$ 投影到无散空间——$\mathbf{u} = \mathbf{u}^* - \Delta t\nabla\phi$，$\phi$ 由泊松方程给出。投影 = 把速度场正交分解为无散部分 + 无旋部分，扔掉无旋部分——这是 Helmholtz 分解的数值实现。投影方法与 SIMPLE 的分工：投影法更"数学干净"（精度阶数清晰），SIMPLE 更"工程鲁棒"（稳态迭代天然松弛）。两个家族在现代求解器里融合（PISO 是两者的混血）。

数学细节展开：泊松方程的快速求解——多重网格与 FFT

不可压计算的瓶颈是每步的泊松方程。多重网格（第 2 节的 sim-2 已预演）是通用答案：细网格上的低频误差 = 粗网格上的高频误差，来回限制-延拓，收敛步数与网格尺寸无关——$O(n)$ 解椭圆问题。FFT 快速泊松求解器（周期/规则边界）是结构化网格上的特例：离散傅里叶把拉普拉斯算子对角化，一步解出——$O(n\log n)$。两个算法的分工：规则几何用 FFT、任意几何用多重网格；谱方法与粒子方法（涡方法）的泊松求解各有专用快速算法。

工程案例细节：方腔流的"基准对照"工作流

驱动方腔流是 CFD 的"标准考卷"（Ghia 的基准解是通行对照表）。工作流：先用 Ghia 表格核对中心线速度剖面（$u$ 沿竖直中线、$v$ 沿水平中线）→ 再查主涡中心位置与强度 → 再加密网格看收敛 → 最后看角落次涡的出现顺序（随雷诺数增大）。这套"基准对照"的工作流是任何新求解器的第一课：不与基准对过照的求解器没有资格算工程问题。数值基准的意义在于它把"看起来对"变成"与公认参考解的定量偏差"——验证从定性变成定量。

常见误区与辨析（补充）

• "SIMPLE 的松弛因子有最优值"：没有普适最优——按问题调（动量 0.5-0.7、压力 1.0-1.3 是起点）；欠松弛是收敛与稳定的调节阀。
• "压力修正法只适用于定常"：PISO 与投影方法把它扩展到瞬态——时间精度由时间离散格式保证。