第 6–7 章 · 刚体与正则方程

朗道收尾两章：刚体动力学压缩成角速度叠加与欧拉角的最小工具集，哈密顿力学则以泊松括号为核心快速登顶。全书在他手中像一次高强度登山——本节是最后两段坡。

角速度与惯量张量的最小工具集

欧拉方程 $I_1\dot\Omega_1 = (I_2 - I_3)\Omega_2\Omega_3 + K_1$ 的自由解给出"中间轴不稳定"（网球拍定理）——朗道用三行线性化完成证明，值得逐行复刻。

• 有限转动的合成不可交换（张量语言），但无穷小转动是矢量：$\boldsymbol\omega = \dot{\boldsymbol\theta}$——这是"角速度可用矢量"的精确边界；
• 惯量张量 $\mathbf{I}$、主轴、动能 $T = \frac{1}{2}(\mathbf{I}\boldsymbol\omega)\cdot\boldsymbol\omega$；
• 两大定理：柯尼希（动能 = 质心平动 + 绕质心转动）与角动量的本体/空间系换算 $\left(\frac{d\mathbf{M}}{dt}\right)_\text{space} = \left(\frac{d\mathbf{M}}{dt}\right)_\text{body} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{M}$。

正则方程与泊松括号

泊松括号的三条代数性质（双线性、反对称、Jacobi 恒等式）把守恒律变成代数游戏：$\{G,H\} = 0$ ⟹ $G$ 守恒；Jacobi 恒等式保证"两个守恒量的括号仍是守恒量"——守恒律自动封闭成代数。微观可逆性与相体积不变（刘维尔）为本章的统计力学接口。

正则变换与 HJ 预告

正则变换保括号结构；生成函数方法把"解方程"变成"找好变换"。朗道在此点到即止（HJ 方程正文简短），但给出关键图像：作用量函数 $S(q,t)$ 作为主函数，$p = \partial S/\partial q$——波前的力学，量子化（$\delta S = \hbar\delta\phi$）的接口。

老师的提醒

• 全书复习的三个抓手：对称性-守恒律对应表、有效势图像、泊松括号代数——朗道卷一的骨架就是这三件东西。
• 读完卷一的正确姿势：把每章"方法"（不是结论）抄成卡片——变分、守恒量消元、简正模式、括号代数——它们在卷二至卷十反复出场。

自检

• 角速度为什么是矢量而有限转动不是？
• 用 Jacobi 恒等式说明守恒量的封闭性。
• $S(q,t)$ 的梯度意义是什么？

更深一层：泊松括号——守恒律的"代数车间"

泊松括号 $\{f, g\} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$ 把守恒律变成代数：$\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \partial_t f$，故 $\{G, H\} = 0 \iff G$ 守恒。三条括号代数性质（双线性、反对称、Jacobi 恒等式 $\{f,\{g,h\}\} + \text{循环} = 0$）的最后一击：两个守恒量的括号自动守恒（$\{\{G_1,H\},H\}$ 类展开为零）——守恒量集合自动封闭成李代数。开普勒问题的 Runge-Lenz 三个分量与角动量构成的封闭代数、刚体欧拉方程本身就是角动量分量的括号动力学，都是这个封闭性的展示。

量子对应一行读完：$\{\cdot,\cdot\} \to \frac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]$——朗道第 7 章的括号代数直接翻译成量子力学的对易子代数，$[H, A] = 0 \iff A$ 守恒的量子版守恒律。朗道卷一第 7 章是卷三的语法课。

在真实世界里：角动量括号代数的"两次上岗"

角动量的括号代数 $\{L_i, L_j\} = \epsilon_{ijk}L_k$ 有两次著名上岗。第一次：刚体欧拉方程 $I\dot{\boldsymbol\omega} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{I}\boldsymbol\omega = \mathbf{N}$ 就是 $\mathbf{L}$ 分量的括号动力学重写——"中间轴不稳定"（网球拍定理）由这组方程线性化即得。第二次：量子角动量的对易子 $[J_x, J_y] = i\hbar J_z$——SG 实验、CG 系数、选择定则的整座大厦（卷三第 3 章）使用同一条代数，只是把括号换成对易子。同一个李代数 $\mathfrak{su}(2)$，驾驭着从陀螺到自旋的两个世界——这是"代数结构跨越物理尺度"的最美标本，也是朗道卷一为卷三铺设的最重要的桥。

专题深入：泊松括号——守恒律的"代数车间"完整版

泊松括号 $\{f, g\} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$ 把守恒律变成代数：$\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \partial_t f$，故 $\{G, H\} = 0 \iff G$ 守恒。三条括号代数性质（双线性、反对称、Jacobi 恒等式 $\{f,\{g,h\}\} + \text{循环} = 0$）的最后一击：两个守恒量的括号自动守恒（$\{\{G_1,H\},H\}$ 类展开为零）——守恒量集合自动封闭成李代数。开普勒问题的 Runge-Lenz 三个分量与角动量构成的封闭代数、刚体欧拉方程本身就是角动量分量的括号动力学，都是这个封闭性的展示。

量子对应一行读完：$\{\cdot,\cdot\} \to \frac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]$——朗道第 7 章的括号代数直接翻译成量子力学的对易子代数，$[H, A] = 0 \iff A$ 守恒的量子版守恒律。朗道卷一第 7 章是卷三的语法课。

数学细节展开：角动量括号代数的"两次上岗"完整版

角动量的括号代数 $\{L_i, L_j\} = \epsilon_{ijk}L_k$ 有两次著名上岗。第一次：刚体欧拉方程 $I\dot{\boldsymbol\omega} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{I}\boldsymbol\omega = \mathbf{N}$ 就是 $\mathbf{L}$ 分量的括号动力学重写——"中间轴不稳定"（网球拍定理）由这组方程线性化即得。第二次：量子角动量的对易子 $[J_x, J_y] = i\hbar J_z$——SG 实验、CG 系数、选择定则的整座大厦（卷三第 3 章）使用同一条代数，只是把括号换成对易子。同一个李代数 $\mathfrak{su}(2)$，驾驭着从陀螺到自旋的两个世界——这是"代数结构跨越物理尺度"的最美标本，也是朗道卷一为卷三铺设的最重要的桥。

工程案例细节：守恒量代数的"工程接口"

守恒量代数的工程接口清单：姿态控制（角动量守恒的姿控原理——反作用轮的角动量交换）；轨道力学（角动量守恒的轨道保持——无外力矩时轨道平面固定）；量子计算（自旋的 CG 合成是多比特门的数学底座——同一个 $\mathfrak{su}(2)$ 代数）。泊松括号的 Jacobi 恒等式保证"两个守恒量的括号仍是守恒量"——这个封闭性是守恒律工程的数学地基。