第 3 章末 · 随机游走与反射原理

随机游走是 Feller 全书的明星模型：最简单的随机过程，却孕育着赌徒破产、首中时间、反射原理——组合概率最漂亮的几个结果。

一维随机游走的基本问题

质点从 0 出发每步等概率 $\pm1$。位置 $S_n = X_1+\cdots+X_n$。基础问题：

• $n$ 步后位置 $k$ 的概率：需 $\frac{n+k}{2}$ 步向右，$P(S_n = k) = \binom{n}{(n+k)/2}2^{-n}$（$n,k$ 同奇偶）；
• 对称性：$P(S_n = k) = P(S_n = -k)$；位置分布的方差 $n$——扩散量级 $\sqrt{n}$。

反射原理：数路径的神器

从 $(0,0)$ 到 $(2n,0)$ 且始终不越过零的路径数 = 从 $(0,0)$ 到 $(2n,0)$ 的总路径数减去"第一次碰到 $-1$ 后反射"的路径数，得 Catalan 数骨架：

首中时间的分布：第一次到达 $+1$ 发生在第 $2n+1$ 步的概率 $= \frac{1}{2n+1}\binom{2n+1}{n}2^{-(2n+1)}$——它的惊人性质：期望无穷（$\sum P(T = 2n+1)$ 收敛但 $\sum(2n+1)P$ 发散）："迟早回访"是必然的（返回概率 1），但"平均等多久"是无限的——重尾现象的最古老标本。

赌徒破产问题

本金 $a$ 对 $b$、每局 ±1、胜率 $p$：破产概率的差分方程解

公平赌局（$p = 1/2$）时破产概率 $= \frac{b}{a+b}$。教训：公平赌局拖得久必破产（资金少者先破产概率大）；不公平赌局资金优势也救不了长期——期望每局 $2p-1$ 为负，久赌必输。

老师的提醒

• 反射原理的记忆图：把"碰线前"的路径沿直线翻折，与"碰 $-1$"的路径一一对应——图像记住，公式推得出。
• 布朗运动的全部直觉来自随机游走取极限：首中时间、反射、 arcsine 定律——先在离散世界里懂，连续版本就是白送。

自检

• $n$ 步后在 $k$ 的概率公式及其奇偶约束？
• 反射原理怎么把"不越过零"的路径数出来？
• 公平赌局破产概率公式与"久赌必输"的两个层面（必破产、期望负）。

更深一层：随机游走是"一切扩散的离散预演"

一维对称随机游走不只是例题，它是布朗运动、热传导、金融定价的公共离散原型。三条基础事实值得固化：位置分布 $P(S_n = k) = \binom{n}{(n+k)/2}2^{-n}$（$n, k$ 同奇偶）；扩散标度——典型位移 $\sim\sqrt n$（方差 $n$ 的几何意义：走两倍远需要四倍时间）；返回必然但无期望等待——返回概率 1（一维回归定理）而首返时间期望无穷（$\sum P(T = 2n)\cdot 2n$ 发散）。"必然回来但平均要等永远"这个悖论组合是一维/二维随机游走的签名（三维以上返回概率本身 < 1——"醉汉总能回家，鸟可能回不去"，Kakutani 名句）。

反射原理的方法论价值高于结论：把"不越线的约束"通过首次触线翻折镜像化——约束计数问题瞬间变成自由计数问题。同一个反射思想在布朗运动（反射布朗运动、障碍问题）、排队论（ busiest period）、期权定价（barrier option）里全部复用。

推导细读：赌徒破产公式的"两种命运"

本金 $a$ 对庄家 $b$、每局胜率 $p$：破产概率公式

两条命运线：公平赌局（$p = 1/2$）破产概率 = 对方本金占比——资金薄者先亡但不算惨烈；不公平赌局（$p < 1/2$）：$q/p > 1$，大资金对手时破产概率趋于 1 且期望每局亏损 $|2p - 1|$——久赌必输的两层含义（几乎必然破产 + 平均每局净亏）在此公式中同时显形。赌场与彩票的商业模型就是这个公式的产品化。

在真实世界里：随机游走的"现代族谱"

随机游走的现代后代遍布定量学科：金融（股票价格的随机游走假设 → Black-Scholes 的布朗运动极限）、算法（随机游走采样、MCMC 的混合时间分析、PageRank 的随机冲浪者）、物理（扩散系数 $D = \frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t}$ 从游走方差直接读出）。族谱的共同节点是尺度极限：步长与时间间隔同步缩小时随机游走收敛到布朗运动（Donsker 不变原理）——离散世界的一切直觉（反射、首达、回归）在连续世界都有精确对应物。

专题深入：随机游走是"一切扩散的离散预演"完整版

一维对称随机游走不只是例题，它是布朗运动、热传导、金融定价的公共离散原型。三条基础事实值得固化：位置分布 $P(S_n = k) = \binom{n}{(n+k)/2}2^{-n}$（$n, k$ 同奇偶）；扩散标度——典型位移 $\sim\sqrt n$（方差 $n$ 的几何意义：走两倍远需要四倍时间）；返回必然但无期望等待——返回概率 1（一维回归定理）而首返时间期望无穷（$\sum P(T = 2n)\cdot 2n$ 发散）。"必然回来但平均要等永远"这个悖论组合是一维/二维随机游走的签名（三维以上返回概率本身 < 1——"醉汉总能回家，鸟可能回不去"，Kakutani 名句）。

反射原理的方法论价值高于结论：把"不越线的约束"通过首次触线翻折镜像化——约束计数问题瞬间变成自由计数问题。同一个反射思想在布朗运动（反射布朗运动、障碍问题）、排队论、期权定价（barrier option）里全部复用。

数学细节展开：赌徒破产公式的"两种命运"完整版

本金 $a$ 对庄家 $b$、每局胜率 $p$：破产概率公式

两条命运线：公平赌局（$p = 1/2$）破产概率 = 对方本金占比——资金薄者先亡但不算惨烈；不公平赌局（$p < 1/2$）：$q/p > 1$，大资金对手时破产概率趋于 1 且期望每局亏损 $|2p - 1|$——久赌必输的两层含义（几乎必然破产 + 平均每局净亏）在此公式中同时显形。赌场与彩票的商业模型就是这个公式的产品化。

工程案例细节：随机游走的"现代族谱"（工程版）

随机游走的现代后代遍布定量学科：金融（股票价格的随机游走假设 → Black-Scholes 的布朗运动极限）；算法（随机游走采样、MCMC 的混合时间分析、PageRank 的随机冲浪者）；物理（扩散系数 $D = \frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t}$ 从游走方差直接读出）。族谱的共同节点是尺度极限：步长与时间间隔同步缩小时随机游走收敛到布朗运动（Donsker 不变原理）——离散世界的一切直觉（反射、首达、回归）在连续世界都有精确对应物。