复变函数在工程问题中的应用：保角映射、复势与留数计算
引言 在数值方法统治工程计算之前，复变函数是求解二维场问题的核心技术，至今仍深刻影响着理论分析：机翼升力的 K…
MATHEMATICS
数学
从偏微分方程到泛函分析，从数值代数到微分几何。 共 20 篇文章。
随机偏微分方程导论：从 Wiener 过程到数值模拟
引言 经典偏微分方程假设参数与源项完全确定，但真实工程系统充满涨落：凝固界面前沿的热涨落影响枝晶形貌，复合材料…
反问题与 Tikhonov 正则化：不适定问题的稳定求解
引言 正问题是由因及果：已知介质参数与源项，求解物理场的分布；反问题则相反——由观测到的”果”反推未知的”因”…
图论与网络科学的数学基础：从邻接矩阵到谱方法
引言 电力网、互联网、社交关系、蛋白质相互作用、大脑神经连接——这些千差万别的系统剥离领域细节后，都可抽象为顶…
逼近论基础：多项式插值、样条与最佳一致逼近
引言 数值计算的几乎每个环节都是”用简单函数代替复杂函数”：数值微积分把被积函数换成插值多项式，有限元把解空间…
李群与李代数：连续系统仿真中的几何积分方法
引言 刚体卫星的姿态、机械臂末端位形、分子动力学中刚性水分子的取向，其位形空间都不是欧氏空间，而是旋转群 ［公…
微分形式与外微分：电磁学 Maxwell 方程的几何表述
引言 工程电磁学教材中的 Maxwell 方程以梯度、旋度、散度三个算子写成，形式冗长且严重依赖三维欧氏空间的…
数值积分：Gauss 求积公式与自适应求积策略
引言 定积分 ［公式］ 的数值计算贯穿工程分析的各个环节：有限元刚度矩阵的组装需要对每个单元做积分，概率论中的…
矩阵特征值问题的数值算法：QR 迭代与 Lanczos 方法
引言 特征值问题 ［公式］ 是科学与工程计算中最基本的代数问题之一：结构动力学中的固有频率与振型、量子力学中的…
常微分方程数值解：Runge-Kutta 方法族
引言 初值问题 ［公式］、［公式］ 是科学计算中出现频率最高的数学模型之一：轨道动力学、化学反应、电路瞬态、流…
数值分析中的误差理论与数值稳定性
引言 计算机中的浮点算术不是实数算术：实数集是连续完备的，而浮点数是有限的离散集合，每次运算都可能引入舍入。数…
随机过程基础：马尔可夫链与泊松过程
引言 确定性微分方程描述「初值决定未来」的世界，而排队等待、网络流量、股价波动、放射性衰变这类现象本质上是随机…
傅里叶分析与小波变换：从全局频谱到时频局部化
引言 Fourier 分析把信号分解为不同频率正弦波的叠加，是信号处理、偏微分方程与概率论共同的基石。但它有一…
微分几何入门：流形、张量与联络
引言 经典微积分建立在平直的 ［公式］ 上，但现实世界中的几何对象——地球表面、机器人构形空间、广义相对论的时…
凸优化理论：Lagrange 对偶与 KKT 条件
引言 优化问题千差万别，但凸优化问题拥有一个关键性质：任何局部极小点都是全局极小点，且存在完整的最优性判据与对…
数值线性代数：Krylov 子空间迭代法与预处理子
引言 科学与工程计算的核心问题之一是求解大型稀疏线性方程组 ［公式］。有限元、有限差分离散 PDE 产生的矩阵…
泛函分析基础：Banach 空间与不动点定理
引言 求解方程 ［公式］ 的一个通用策略是把它改写为不动点形式 ［公式］，再从某个初值出发反复迭代 ［公式］。…
希尔伯特空间中的谱分解定理及其应用
引言 线性代数告诉我们：实对称矩阵可正交对角化，任意向量可在标准正交特征基下展开。谱定理把这一事实推广到无穷维…
变分法与 Euler-Lagrange 方程：从泛函极值到物理定律
引言 变分法研究的是「函数的函数」——泛函——的极值问题。1696 年 Johann Bernoulli 提出…
偏微分方程数值解：有限差分法的稳定性与收敛性分析
引言 偏微分方程（PDE）是描述物理场量时空演化的核心数学语言。大多数工程PDE无解析解，需依赖数值方法。本文…